Egzaktna diferencijalna jednačina

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

Definicija

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R² i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika

$P(x, y)\, \mathrm{d}x + Q(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!$

naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

$\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = P$

and

$\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = Q.$

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju $F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n)$, egzaktni ili totalni diferencijal po $x_0$ je dat kao

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.$

Primjeri

Funkcija

$F(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

$xx' + yy' = 0.\,$

Postojanje funkcija potencijala

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

$P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0, \,\!$

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R², tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je

$\frac{\partial P}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial Q}{\partial x}(x, y).$

Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R² sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

$F(x, f(x)) = c.\,$

Za problem početne vrijednosti

$y(x_0) = y_0\,$

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

$F(x,y) = \int_{x_0}^x I(t,y_0) dt + \int_{y_0}^y J(x,t) dt.$

Rješavajući

$F(x,y) = c\,$

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

Također pogledajte

• Egzaktni diferencijal
• Totalni diferencijal