Egzaktna diferencijalna jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, egzaktna diferencijalna jednačina ili jednačina totalnog diferencijala je jedna od vrsta obične diferencijalne jednačine, koja se široko koristi u fizici i inženjerstvu.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Za dati jednostavno povezan prostor i otvoren podskup D od skupa R2 i dvije funkciju P i Q, koje su neprekidne na D, tada se implicitna diferencijalna jednačina oblika

P(x, y)\, \mathrm{d}x + Q(x, y)\, \mathrm{d}y = 0, \,\!

naziva egzaktna diferencijalna jednačina ako postoji neprekidno diferencijabilna funkcija F, koja se naziva funkcija potencijala, tako a bude

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = P

and

\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = Q.

Nomenklatura "egzaktne diferencijalne jednačine" odnosi se na totalni diferencijal funkcije. Za funkciju F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n), egzaktni ili totalni diferencijal po x_0 je dat kao

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Funkcija

F(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + y^2)

je funkcija potencijala za diferencijalnu jednačinu

xx' + yy' = 0.\,

Postojanje funkcija potencijala[uredi | uredi izvor]

U fizikalnim primjenama, funkcije P i Q obično nisu samo neprekidne, nego čak i neprekidno diferencijabilne. Schwarzov teorem (poznat i kao Clairautov teorem) nam tada pruža potreban uslov za postojanje funkcije potencijala. Za diferencijalne jednačine definisane na jednostavno povezanim skupovima, uslov je čak i dovoljan, te dobijamo slijedeći teorem:

Za datu diferencijalnu jednačinu oblika

P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = 0, \,\!

gdje su P i Q neprekidno diferencijabilne funkcije na jednostavno povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2, tada funkcija potencijala F postoji ako i samo ako je

\frac{\partial P}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial Q}{\partial x}(x, y).

Rješenja egzaktnih diferencijalnih jednačina[uredi | uredi izvor]

Za datu diferencijalnu jednačinu definisanu na nekom povezanom i otvorenom podskupu D od skupa R2 sa funkcijom potencijala F, tada diferencijabilna funkcija f sa (x, f(x)) u D je rješenje ako i samo ako postoji realan broj c, tako da vrijedi

F(x, f(x)) = c.\,

Za problem početne vrijednosti

y(x_0) = y_0\,

možemo lokalno odrediti funkciju potencijala iz

F(x,y) = \int_{x_0}^x I(t,y_0) dt + \int_{y_0}^y J(x,t) dt.

Rješavajući

F(x,y) = c\,

po y, gdje je c realan broj, možemo pronaći sva rješenja.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]