Elipsa

Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za drugo značenje, pogledajte Elipsa (figura).

Elipsa:
a = velika poluosa
b = mala poluosa

Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus. Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1X i F2X uvijek jednaka.

Površina elipse se računa formulom:

$P = a * b *\pi$

Površina i obim

Površina zatvorena elipsom je πab, gdje su (kao i prethodno) a i b polovine velike i male ose, respektivno.

Obim $O$ elipse je $4 a E(\varepsilon)$, gdje je funkcija $E$ totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

$C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right];\!\,$

ili

$C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!$

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

$C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,$

ili bolja aproksimacija:

$C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,$

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

$C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2};\!\,$

ili

$C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}};\!\,$ (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.

Također pogledajte

• Ekscentricitet