Elipsa

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Info
Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za drugo značenje, pogledajte Elipsa (figura).

Elipsa:
a = velika poluosa
b = mala poluosa

Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e). Elipsa se može takođe predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus. Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1X i F2X uvijek jednaka.

Površina elipse se računa formulom:

P = a * b * π

[uredi] Površina i obim

Površina zatvorena elipsom je πab, gdje su (kao i prethodno) a i b polovine velike i male ose, respektivno.

Obim O elipse je 4 a E(\varepsilon), gdje je funkcija E totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right];\!\,

ili

C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

ili bolja aproksimacija:

C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2};\!\,

ili

C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}};\!\, (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.

[uredi] Također pogledajte