Gaussova konstanta

U matematici, Gaussova konstanta, oznake G, se definiše kao recipročna vrijednost aritmetičko-geometrijske sredine od 1 i kvadratnog korijena od 2:

$G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots$

Konstanta je dobila naziv po Carlu Friedrichu Gaussu, koji je dana 30. maja 1799. godine otkrio da je

$G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}$

tako da je

$G = \frac{1}{2\pi}\beta(\begin{matrix} \frac{1}{4}\end{matrix}, \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix})$

gdje β označava beta funkciju.

Veze sa drugim konstantama

Gaussova konstanta može se koristiti kao izraz zatvorenog oblika za gama funkciju za argument 1/4:

$\Gamma( \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }$

a pošto su π i Γ(1/4) algebarski nezavisne, Gaussova konstanta je transcendentalna.

Druge formule

Formula za G preko Jacobijevih teta funkcija data je sa

$G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})$

kao i red koji brzo konvergira

$G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.$

Kontanta se može dati i preko beskonačnog proizvoda

$G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).$

Gaussova konstanta ima neprekidni razlomak [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Reference

• Eric W. Weisstein, Gaussova konstanta na MathWorld-u.
• Nizovi A014549 i A053002 u OEIS