Gama funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.
Gama funkcija duž dijela realne ose

U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

 \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt\;.

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je

 \Gamma(n) = (n-1)!\,

što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i komplesken vrijednosti od n.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Glavna definicija[uredi | uredi izvor]

Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj


\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt

konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je

\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!

Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1.

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

za sve prirodne brojeve n.

Partikularne vrijednosti[uredi | uredi izvor]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
  • Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Internet stranice[uredi | uredi izvor]

Dalje čitanje[uredi | uredi izvor]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
  • Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: