Faktorijel

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
11 39.916.800
12 479.001.600
13 6.227.020.800
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
47.176 8,4485731495... × 10200.001
100.000 2,8242294079... × 10456.573
1.000.000 8,2639316883... × 105.565.708
9,99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307

Faktorijel broja n je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n. Faktorijel se označava sa znakom n!. Faktorijel je funkcija koja se korist u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

n!=\prod_{k=1}^n k

Sadržaj

[uredi] Definicija

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}.\!

Gornja definicija uključuje primjer

0! = 1 \

kao primjer činjenice da je proizvod ni jednog broja ustvari 1. Ova činjeica kod faktorijela je korisna zato što

  • rekurzivna relacija (n + 1)! = n! \times (n + 1) važi za n = 0;
  • dozvoljava jednostavno pisanje izraza sa beskonačne polinome, npr. e^x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!};
  • ova definicija mnoge identitete u konbinatorici čini važećim za nulte veličine.
    • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

[uredi] Primjena

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

{n\choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

[uredi] Primjer

  • 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

odnosno

  • n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot(n-1) \cdot n

po definiciji je:

  • 0! = 1 \

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

[uredi] Približno računanje faktorijela

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primjeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

gdje je:

π broj pi (približno 3,14)
\ e broj e (približno 2,81)

[uredi] Dvostruki faktorijel n!!

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na fatorijel parnih ili neparnih brojeva

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{za }n=0\mbox{ ili }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{za }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.

na primjer:

  • 10! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 3840

odnosno

  • 9! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

[uredi] Također pogledajte

[uredi] Reference


[uredi] Vanjski linkovi

Faktorijelski kalkulatori i algoritmi
Preuzeto sa: "http://bs.wikipedia.org/wiki/Faktorijel"