Kosinusni teorem

Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:

$\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$ gdje je α ugao nasuprot stranice a.

U svakom trouglu je $\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,$ gdje je ugao α nasuprot stranice a

$b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta,\; c^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta.$ za ugao u vrhu С = γ=90°, zbog cos(90°)=0, imamo Poseban slučaj kosinusne teoreme je Pitagorina teorema. $c^2=a^2+b^2,$.

Posljedice Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je $\alpha<90^o,\,$ onda je $\cos\alpha > 0\,$ i $a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha <b^2+c^2.\,$

Ako je $\alpha=90^o,\,$ onda је $\cos\alpha=0\,$ i $c^2=a^2+b^2.\,$

Аkо је $\alpha>90^o,\,$ ondа је $\cos\alpha < 0\,$ i $a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha > b^2+c^2.\,$

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako је $a^2<b^2+c^2,\,$ onda je $\cos\alpha>0,\,$ prema tome je $\alpha < 90^o.\,$

Аko је $a^2=b^2+c^2,\,$ onda je $\cos\alpha=0,\,$ tј. $\alpha=90^o.\,$

Ako је $a^2>b^2+c^2,\,$ onda је $\cos\alpha<0,\,$ tј. $\alpha>90^o.\,$