Pitagorina teorema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Pitagorina teorema: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.

U matematici, Pitagorina teorema je odnos u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla. Nazvana je po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Teorema kaže:

Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine pravi ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete prav0uglog trougla, a c je hipotenuza:

Historija[uredi | uredi izvor]

Trigonometrija

Historija
Upotrebe
Funkcije
Inverzne funkcije
Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta
Tačne konstante
Trigonometrijske tablice
CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem
Kosinusni teorem
Tangensni teorem
Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral
Trigonometrijska substitucija
Integrali funkcija
Derivacije funkcija
Integrali inverznih funkcija

Pitagora je shvatio teoremu u ovom geometrijskom stilu, kao iskaz o površinama kvadrata:

Zbir površina plavog i crvenog kvadrata jednak je površini ljubičastog kvadrata.

Koristeći se algebrom, ova teorema može se preformulirati u moderni izraz s opaskom da je površina kvadrata kvadrat dužine njegove stranice:

Uzimajući da je trougao s katetama dužina a i b i hipotenuze dužine c, onda vrijedi

a2 + b2 = c2.

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova[uredi | uredi izvor]

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je

 BC=a, AC=b, \text{ i } AB=c, \!

tako je

 \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ i } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,

Ovo se može pisati kao

a^2=c\times HB \mbox{ i }b^2=c\times AH. \,

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

a^2+b^2=c^2.\,\!

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: