Tangensni teorem

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Slika 1 - trougao.
Trigonometrija

Historija
Upotrebe
Funkcije
Inverzne funkcije
Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta
Tačne konstante
Trigonometrijske tablice
CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem
Kosinusni teorem
Tangensni teorem
Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral
Trigonometrijska substitucija
Integrali funkcija
Derivacije funkcija
Integrali inverznih funkcija

U trigonometriji, tangensni teorem[1] je iskaz o odnosu dužina tri strane trougla i tangenti uglova.

Na Slici 1, a, b i c su dužine tri strane trougla, a α, β i γ, respektivno, su uglovi nasuprot tih stranica. Tangensni teorem kaže da je

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Tangensni teorem, iako nije poznat kao sinusni ili kosinusni teorem, jednako je koristan, a može se koristiti u bilo kojem slučaju kada su poznate dvije stranice i jedan ugao, kao i dva ugla i jedna stranica.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Kako bi dokazali tangensni teorem, počinjemo sa sinusnim teoremom:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

Neka je

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

tako da je

a = d \sin\alpha \text{ i }b = d \sin\beta. \,

Slijedi da je

\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.

Koristeći trigonometrijske identitete

 \sin(\alpha) \pm \sin(\beta) = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right), \;

dobijamo

\frac{a-b}{a+b} =  \frac{
  2 \sin\left( \frac{\alpha -\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha+\beta}{2}\right)
                          }{
              2 \sin\left( \frac{\alpha +\beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right)} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}. \qquad

Kao alternativa korištenju identiteta sume ili razlike dva sinusa, može se koristiti trigonometrijski identitet

 \tan\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}

(pogledajte članak formula tangensa polovine ugla).

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]