Kvadratni korijen od 5

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - $\sqrt{2}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	10,0011110001101111...
Decimalni	2,23606797749978969...
Heksadecimalni numerički sistem	2,3C6EF372FE94F82C...
Neprekidni razlomak	$2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}$

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

$\sqrt{5}. \,$

On je iracionalni algebarski broj. Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (niz A002163 u OEIS)

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.

Neprekidni razlomak

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] (niz A040002 u OEIS) . Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

${\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots$

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz A001077 , a njihovi nazivnici niz A001076 . Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod

Kada se $\sqrt{5}$ izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od r₀ = 2, te koristeći r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2, n-ti aproksimant r_n jednak je 2ⁿ-tom konvergentu konvergentnog niza:

$\frac{2}{1} = 2,0;\quad \frac{9}{4} = 2,25;\quad \frac{161}{72} = 2,23611\dots;\quad \frac{51841}{23184} = 2,2360679779 \ldots$

Ramanujanovi identiteti

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).$

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}} = \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}.$

$4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.$

Također pogledajte

• Zlatni rez
• Kvadratni korjen
• Kvadratni korjen od 2
• Kvadratni korjen od 3