Kvadratni korijen iz 5

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Kvadratni korijen od 5)
Idi na: navigacija, traži
Spisak brojeva - Iracionalni brojevi
ζ(3) - \sqrt{2} - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni 10,0011110001101111...
Decimalni 2,23606797749978969...
Heksadecimalni numerički sistem 2,3C6EF372FE94F82C...
Neprekidni razlomak 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

\sqrt{5}. \,

On je iracionalni algebarski broj.[1] Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (niz A002163 u OEIS)


što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.[2]

Neprekidni razlomak[uredi | uredi izvor]

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] (niz A040002 u OEIS) . Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

{\color{OliveGreen}\frac{2}{1}}, \frac{7}{3} , {\color{OliveGreen}\frac{9}{4}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{OliveGreen}\frac{38}{17}} , \frac{123}{55} , {\color{OliveGreen}\frac{161}{72}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{OliveGreen}\frac{682}{305}} , \frac{2207}{987} , {\color{OliveGreen}\frac{2889}{1292}}, \dots

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz A001077 , a njihovi nazivnici niz A001076 . Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod[uredi | uredi izvor]

Kada se \sqrt{5} izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od r0 = 2, te koristeći rn+1 = (rn + 5/rn) / 2, n-ti aproksimant rn jednak je 2n-tom konvergentu konvergentnog niza:

\frac{2}{1} = 2,0;\quad \frac{9}{4} = 2,25;\quad \frac{161}{72} = 2,23611\dots;\quad \frac{51841}{23184} = 2,2360679779 \ldots

Ramanujanovi identiteti[uredi | uredi izvor]

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.[3][4]

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:


\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).



\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}.



4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
  2. ^ R. Nemiroff and J. Bonnell: Prvih milion decimala kvadratnog korjena od 5
  3. ^ Ramanathan, K. G. (1984), "On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences 93(2): 67--77, doi:10.1007/BF02840651, MR813071, ISSN 0253-4142 
  4. ^ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions, http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html  at MathWorld