Iracionalan broj

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:

e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874...
\pi \approx 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923...


Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...

Drugi korijen iz dva.png

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnoj pravoj ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo tačaka (iracionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu srazmjerne s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnoj pravoj.

Euklidov dokaz[uredi | uredi izvor]

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:

  • dopustimo da korijen od 2 jest racionalan.
  • onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelioca (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda \frac{n^2}{m^2} = 2, n^2 = 2m^2, gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se n^2 dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (4^2 = 16, na primjer, ali 5^2 = 25; dokaz nije složen).
  • Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda n = 2r, i (2r)^2 = 2m^2, 4r^2 = 2m^2. Ovo pak znači 2r^2 = m^2 i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: