Adjungovana matrica

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U linearnoj algebri, adjungovana ili klasični pridodatak kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:

  • Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci Mij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
  • Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao
\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,
  • Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.

adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:

\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,.

To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:

\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} \,.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Svojstvena matrica dimenzije 2x2[uredi | uredi izvor]

Adjungovana matrica matrice dimenzije 2\times 2

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}

je

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}.

Svojstvena matrica dimenzije 3x3[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo matricu dimenzije 3\times 3


\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}.

Njena adjungovana matrica je


\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

gdje je

\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right).

Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.

Numerička matrica dimenzije 3x3[uredi | uredi izvor]

Kao specifični primjer imamo

\operatorname{adj}\begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\!-8 &  18  & \!-4 \\
\!-5 &  12  & \!-1 \\
\, 4 & \!-6 & \, 2
\end{pmatrix}
.

−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:

(-1)^{3+2}\;\operatorname{det}\begin{pmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{pmatrix}=-((-3)(-4)-(2)(3))=-6.

Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica

\begin{pmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{pmatrix}

dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.

Primjene[uredi | uredi izvor]

Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo

\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad (*)

gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za ij, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.

Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.

Ako je A inverzna matrica, tada je

1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}),

a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je

\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}).

Osobine[uredi | uredi izvor]

Adjungovana matrica ima osobine

\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,
\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,

za sve matrice A and B dimenzija n×n.

Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:

\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T\,.

Dalje, ako je \mathbf{A} nesingularna, tada je

\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}\,.

Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je

 \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,

gdje su  p_j koeficijenti od p(t),

 p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}.

Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Strang, Gilbert (1988). “Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications, 3rd, 231–232, Harcourt Brace Jovanovich ISBN 0-15-551005-3.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]