Binet–Cauchyjev identitet

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U algebri, Binet–Cauchyjev identitet, koji je naziv dobio po Jacquesu Philippeu Marie Binetu i Augustinu Louisu Cauchyju, kaže da je


\biggl(\sum_{i=1}^n a_i c_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j d_j\biggr) = 
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i d_i\biggr)
\biggl(\sum_{j=1}^n b_j c_j\biggr) 
+ \sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )

za svaki izbor realnih ili kompleksnih brojeva (ili općenitije, elemenata komutativnog prstena). Ako uzmemo da je ai = ci i bi = di, dobijamo Lagrangeov identitet, koji je jača varijanta Cauchy-Schwarzove nejednakosti za Euklidov prostor \scriptstyle\mathbb{R}^n.

Binet–Cauchyjev identitet i vanjska algebra[uredi | uredi izvor]

Kada je n = 3, prvi i drugi član na desnoj strani postaju kvadratni intenziteti skalarnih i vektrskih proizvoda, respektivno; u n dimenzija ovi postoju intenziteti skalarnih i vanjskih proizvoda. To možemo zapisati kao

(a \cdot c)(b \cdot d) = (a \cdot d)(b \cdot c) + (a \wedge b) \cdot (c \wedge d)\,

gdje su a, b, c i d vektori. Također se može zapisati kao formula koja daje skalarni proizvod dva vanjska proizvoda

(a \wedge b) \cdot (c \wedge d) = (a \cdot c)(b \cdot d) - (a \cdot d)(b \cdot c).\,

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Proširenjem posljednjeg člana,


\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i b_j - a_j b_i ) 
(c_i d_j - c_j d_i )

=
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i)
+\sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-
\sum_{1\le i < j \le n} 
(a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i)
-
\sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i

gdje su drugi i četvrti član dodani kako bi kompletirali sumu, kao što slijedi:


=
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i c_i b_j d_j
-
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n
a_i d_i b_j c_j.

Ovim je dokaz zavešen, nakon što se faktorišu članovi sa indeksom i.