Cauchyjev granični uslov

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Cauchyjev granični uslov nametnut običnim ili parcijalnim diferencijalnim jednačinama specificira obe vrijednosti, rješenje diferencijalne jednačine na granici domen i derivacije pravca na granicama. Ovaj uslov odgovara nametanju Dirichletovog i Neumannovog graničnog uslova. Dobio je naziv po francuskom matematičaru iz 19. vijeka, Augustinu Louisu Cauchyju.

Cauchyjev granični uslov mogu se razumjeti pomoću teorije drugog reda, obične diferencijelne jednačine, gdje, da bi imali određeno rješenje, moramo imati specigične vrijednosti funkcije i vrijednost derivacije u datoj početnoj ili graničnoj tački, npr.

y(a)=\alpha \ ,

i

y'(a)=\beta  \ .

gdje je  a \ igranična ili početna tačka.

Cauchyjevi granični uslovi su generalizacija ovih vrsta uslova. Prisjetimo se pojednostavljenog oblika pisanja parcijalnih derivacija.

u_x = {\part u \over \part x} \
u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x} \

i definišimo sada jednostavnu, parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda:

\psi_{xx} + \psi_{yy}= \psi(x,y) \

Imamo dvodimenzionalni domen čija je granica linija, koja se može opisati slijedećim parametarskim jednačinama:

x=\xi (s) \
y=\eta (s) \

Odavde, na sličan način, kao i za obične diferencijalne jednačine drugog reda, moramo saznati vrijednost funkcije u granicama, te njenu derivaciju normale kako bi riješili parcijalnu diferencijalnu jednačinu, to jeste, obje jednačine,

\psi (s) \ ,

kao i

\frac{d\psi}{dn}(s)=\mathbf{n}\cdot\nabla\psi \

su određene u svakoj tački granice domena date parcijalne diferencijalne jednačine, gdje je \nabla\psi(s) \, gradijent funkcije.

Primjer[uredi | uredi izvor]

Definišimo toplotnu jednačinu u dvosprostornim dimezijama, kako slijedi

u_t = k \nabla^2 u \

gdje je k \ konstantna koja se zove toplotna provodljivost, koja je specifična za materijal,

Pretpostavimo i da je takva jednačina primijenjena u regiji G \ , koja predstavlja gornji poludisk centriran u ishodištu radijusa a \ . Pretpostavimo da je temperatura nula na zakrivljenom dijelo granice, dok je pravolinijski dio granice izolovan. Definišemo Cauchyjev granični uslov kao

u=0 \ \forall (x,y) \in r=a, 0\leq \theta \leq \pi \

i

u_y = 0, y = 0 \

Možemo koristit razdvajanje varijabli smatrajući funkciju sastavljenom od proizvoda prostornog i vrmenskog dijela

u(x,y,t)= \phi (x,y) \psi (t)\ ,

te primijenjujući taj proizvod u originalnoj jednačini dobijamo

\phi (x,y) \psi ' (t)= k \phi '' (x,y) \psi (t) \

odakle slijedi

 \frac{\psi '(t)}{k \psi (t)} = \frac{\phi '' (x,y)}{\phi (x,y)}

Pošto lijeva strana zavisi samo od t \ , a desna strana zavisi samo od (x,y) \ , zaključujemo da bi obje strane trebale biti jednake za istu konstantu

\frac {\psi '(t)}{k \psi (t)}= - \lambda = \frac {\phi '' (x,y)}{\phi (x,y)}

To nas vodi do dvije jednačine: prva po prostornoj varijabli

\phi_{xx}+\phi_{yy}+\lambda \phi (x,y)=0 \ ,

a druga jednačin po t \ varijabli,

\psi '(t) +\lambda k \psi (t)=0 \

Kada nametnemo granične uslove, rješenje vremenske obične diferencijalne jednačine je

\psi (t) =A e^{-\lambda k t}\

gdje je A konstanta koja bi se mogla definisati po početnim uslovima. Prostorni dio može se riješiti ponovnim razdvajanjem varijabli, uvođenjem zamjene \phi (x,y) = X(x)Y(y) \ u parcijalnu diferencijalnu jednačinu i dijeljenjem sa  X(x) Y(y) \ iz koje dobijamo (nakon raspodjele i uređivanja članova)

\frac {Y''}{Y}+\lambda =-\frac {X''}{X}

Pošto lijeva strana zavisi samo od y, a desna strana samo od x \ , obje strane moraju biti jednake konstanti, recimo \mu \ ,

\frac {Y''}{Y}+ \lambda =- \frac {X''}{X} = \mu

Tako dobijamo par obične diferencijalne jednačine na koje možemo nametnuti granični uslov koji smo prethodno definisali.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Cooper, Jeffery M. "Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB". ISBN 0-8176-3967-5