Zenonovi paradoksi

Zenon iz Eleje

Zenonovi paradoksi su paradoksi koje je navodio starogrčki filozof Zenon iz Eleje dokazujući nemogućnost kretanja. Zenonovi paradoksi su zbunjivali, izazivali, inspirisali i zadivljavali filozofe, matematičare, fizičare i školsku djecu preko dvije hiljade godina. Najpoznatiji su takozvani "argumenti protiv kretanja" opisani u Aristotelovoj Fizici.

Paradoksi kretanja

Ahilej i kornjača

“	U utrci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je gonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvijek ima prednost.	”
Aristotelova Fizika VI:9, 239b15

Zamislite da Ahilej trči protiv kornjače. Ahilej trči 10 puta brže od kornjače, ali počinje od tačke A, 100 metara iza kornjače koja je u tački K1 (kornjači, koja je sporija, data je prednost). Da bi prestigao kornjaču, Ahilej mora prvo doći do tačke K1. Međutim, kada je Ahilej stigao do tačke K1, kornjača je prešla 10 metara i došla do tačke K2. Ponovo Ahilej trči do K2. Ali, kao i prije, kada je prešao 10 metara kornjača je metar ispred njega, kod tačke K3, i tako dalje (kornjača će uvijek imati prednost nad Ahilejem, nebitno koliko mala ona bila). Prema tome, Ahilej nikada ne može prestići kornjaču.

A----------------------------K1----------------K2---K3

Paradoks dihotomije

“	Ono što je u pokretu mora prvo preći pola puta prije nego što stigne do cilja.	”
Aristotelova Fizika VI:9, 239b10

Zamislite stvar koja treba ići od tačke A do tačke B. Da bi došla do tačke B stvar prvo mora doći do srednje tačke B1 koja je između tačaka A i B. Ali, prije nego što se ovo dogodi, stvar mora doći do tačke B2 koja je između tačaka A i B1. Slično, prije nego što može i to uraditi, mora prvo doći do tačke B3 koja je između A i B2, i tako dalje. Prema tome, kretanje nikada ne može početi.

A-----B3-----B2-----------B1-------------------------B

Paradoks strijele

Zenon je dokazivao da je strijela u letu nepokretna.

“	Ako je sve nepomično što zauzima prostor, i ako sve što je u pokretu zauzima takav prostor u nekom vremenu, onda je leteća strijela nepokretna.	”
Aristotelova Fizika VI:9, 239b5

Zamislite da strijela leti neprestano naprijed tokom jednog vremenskog intervala. Uzmite svaki momenat u tom vremenskom intervalu. Nemoguće je da se strijela miče u takvom momentu, jer trenutak ima trajanje 0, i strijela ne može biti na dva mjesta u isto vrijeme. Prema tome, u svakom trenutku je strijela nepomična, i tako je strijela nepomična tokom čitavog intervala.

Predložena rješenja

Dva paradoksa, Ahilej i kornjača i dihotomija, zavise od podjele udaljenosti na nizove udaljenosti koji postaju sve manji, pa su i subjekt istim protiv-argumentima.

Predložena rješenja za "Ahileja i kornjaču"

Aristotel je istakao da kao što se udaljenost smanjuje, vrijeme potrebno da se ta udaljenost pređe također se smanjuje. Takav pristup rješavanju paradoksa bi doveo do demanta tvrdnje da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se pređe preko beskonačno mnogo udaljenosti, iako neki to spore.

Grafikon za Ahileja i kornjaču

Prije 212. p. n. e. Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Teoreme su razvijene u modernijim oblicima da bi postigle isti rezultat, ali sa tačnijom metodom za dokazivanje. Ove metode dozvoljavaju konstrukciju rješenja koje kažu da (pod normalnim uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vrijeme je konačno.

Ova rješenja su u biti geometrijski nizovi. Opšti geometrijski nizovi se mogu pisati kao:

$a\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\right)^{k},$

što je jednako ax/ (x - 1) uzevši da je x > 1 (u suprotnom niz je divergentan). Paradoksi se mogu riješiti pomoću geometrijskih sekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovo rješenje, koje u obzir uzima vrijeme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje je potrebno Ahileju da sustigne kornjaču.

U slučaju Ahileja i kornjače treba zamisliti da kornjača trči sa konstantnom brzinom od v metara u sekundi (ms⁻¹) i da dobija prednost od udaljenosti d metara (m), a da Ahilej trči sa konstantnom brzinom od xv ms⁻¹ sa x > 1. Ahileju je potrebno d/xv sekundi (s) da dođe do tačke sa koje je kornjača otpočela trku, a za to vrijeme kornjača je prešla d/x m. Poslije dužeg vremena d/x²v s, Ahilej ima još jednu d/x m, i tako dalje. Prema tome, vrijeme potrebno Ahileju da sustigne kornjaču je

${\frac {d}{v}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\right)^{k}={\frac {d}{v(x-1)}}\,\,{\texttt {s}}.$

Pošto je ovo konačna vrijednost, Ahilej će jednom sustići kornjaču.

Predložena rješenja za paradoks dihotomije

Aristotel je istakao da kao što se udaljenost smanjuje, vrijeme potrebno da se ta udaljenost pređe također se smanjuje. Takav pristup rješavanju paradoksa bi doveo do demanta tvrdnje da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se pređe preko beskonačno mnogo udaljenosti.

Predložena rješenja za paradoks strijele

Paradoks o strijeli postavlja pitanja o prirodi kretanja koja nisu odgovorena na matematički način, kao u slučaju Ahileja i kornjače i dihotomije. Ovaj paradoks se može riješiti matematički na slijedeći način: u graničnoj vrijednosti dužina momenta teži nuli, trenutačna stopa mijenjanja ili brzine (koja je količnik pređenog puta u određenom vremenu) ne mora težiti nuli. Ova nenultna granična vrijednost je brzina strijele u trenutku.

Problem sa računskim rješenjem je taj da računska radnja može opisati samo kretanje dok se granična vrijednost približava, bazirano na vanjskoj opservaciji da se strijela kreće naprijed. Međutim, u Zenonovom paradoksu, koncepti kao brzina gube svoje značenje i ne postoji činilac koji nije pod djelovanjem paradoksa, koji bi mogao strijeli omogućiti letenje.

Drugo gledište je to da premisa kaže da je u svakom trenutku strijela nepomična. Međutim, ne kretati se - to je relativan pojam. Niko ne može suditi, posmatrajući jedan trenutak, da strijela stoji u mjestu. Tačnije, potrebni su drugi, slični trenuci koji bi odredili, poredeći se sa drugim trenucima, da je strijela u jednom trenutku nepomična. Prema tome, u poređenju sa drugim trenucima, strijela bi bila na drugom mjestu nego što je bila i što će biti u vremenu prije i poslije. Uzevši ovo u obzir, strijela se kreće.

Također pogledajte

• Zenon
• Paradoks
• Dihotomija
• Vrijeme
• Prostor
• Kretanje