Asocijativnost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, asocijativnost je osobina koju mogu posjedovati binarna operacija. On predstavlja, unutar izraza koji sadrži dva ili više istih asocijativnih operatora u nizu, da red kojim se operacije izvodethe nije bitan sve dok je niz operanda nepromijenjen. To jest, premiještanje zagrada u takvom izrazu neće uticati na njegovu vrijednost. Razmotrimo slijedeći primjer

(5+2)+1=5+(2+1)=8 \,

Iako su zagrade premještene, vrijednost izraza se nije promienila. Pošto ovo važi kada vršimo sabiranje bilo kojih realnih brojeva, kažemo da je "sabiranje realnih brojeva asocijativna operacija."

Asocijativnost ne treba miještati sa komutativnosti. Komutativnost dozvoljava mijenjanje redoslijeda ili niza operanada unutar izraza, dok asocijativnost to ne dopušta. Naprimjer,

(5+2)+1=5+(2+1) \,

je primjer asocijativnosti, pošto su zagrade premještene (i, zbog toga, red operacija takom izračunavanja), dok su se operandi 5, 2 i 1 pojavili u istom redoslijedu od lijeva na desno u izrazu.

(5+2)+1=(2+5)+1 \,

nije primjer asocijativnosti pošto je niz operanda promijenjen kada su 2 i 5 zamijenili mjesto.

Asocijativne operacije su mnogobrojne u matematici, te, u stvari, većina algebarskih struktura eksplicitno traži da njihove binarne operacije budu asocijativne. Međutim, mnoge važne i interesantne operacije nisu asocijativne; jedan od takvih primjera bi bio vektorski proizvod.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Formalno, binarna operacija *\!\!\! na skupu S naziva se asocijativnom ako zadovoljava zakon asocijacije:

(x*y)*z=x*(y*z)\qquad\mbox{za sve }x,y,z\in S.

Redoslijed izračunavanja ne utiče na vrijednost takvih izraza, te se može pokazati da to isto važi i za izraze koji sadrže bilo koji broj *\!\!\! operacija. Zbog toga, kada je *\!\!\! asocijativno, redoslijed izračunavanja ne mora se specifikovati stavljanjem zagrada, te se jednostavno piše:

x*y*z.\,

Međutim, važno je zapamtiti da ,ijenjanje redoslijeda operacija ne uključuje niti dozvoljava mijenjanje samih operacija, tako što bi operande razmiještali unutar izraza.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Neki primjeri asocijativnih operacija su slijedeći.



\left.
\begin{matrix}
(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad
\\
(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \,
\end{matrix}
\right\}
\mbox{za sve }x,y,z\in\mathbb{R}.


\left.
\begin{matrix}
\operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(x,y),z)=
\operatorname{gcd}(x,\operatorname{gcd}(y,z))=
\operatorname{gcd}(x,y,z)\ \quad
\\
\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(x,y),z)=
\operatorname{lcm}(x,\operatorname{lcm}(y,z))=
\operatorname{lcm}(x,y,z)\quad
\end{matrix}
\right\}\mbox{ za sve }x,y,z\in\mathbb{Z}.


\left.
\begin{matrix}
(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad
\\
(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad
\end{matrix}
\right\}\mbox{za sve skupove }A,B,C.
  • Ako je M neki skup, a S označava skup svih funkcija iz M u M, tada je operacija kompozicije funkcije na S asocijativna:
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad\mbox{za sve }f,g,h\in S.
  • Nešto općenitije, za data četiri skupa M, N, P i Q, gdje vrijedi h: M u N, g: N u P i f: P u Q, tada je
(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h
Ukratko, kompozicija preslikavanja je uvijek asocijativna.
  • Razmotrimo skup sa tri elementa, A, B i C. Slijedeća operacija:
+
× A B C
A A A A
B A B C
C A A A

je asocijativna. Zbog toga, naprimjer, vrijedi A(BC)=(AB)C. Ovo preslikavanje nije komutativno.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]