Bernoullijeva nejednakost

Ilustracija Bernoullijeve nejednakosti, sa grafikom $y=(1 + x)^r$ i $y=1 + rx$ prikazanom crvenom i plavom bojim, respektivno. Ovdje je $r=3.$

U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.

Nejednakost iskazuje da je

$(1 + x)^r \geq 1 + rx\!$

za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi

$(1 + x)^r > 1 + rx\!$

za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.

Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.

Dokaz nejednakosti

Za $r=0,\,$

$(1+x)^0 \ge 1+0x$

je ekvivalentna sa $1\ge 1$, što je tačno.

Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za $r=k$:

$(1+x)^k \ge 1+kx.$

Tada slijedi da je

$(1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)$ (po hipotezi, pošto je $(1+x)\ge 0$)

$\begin{matrix} & \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2 \\ & \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2 \end{matrix}.$

Međutim, kada je $1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x$ (pošto je$kx^2 \ge 0$), slijedi da je $(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x$, što znači da je iskaz tačan za $r=k+1$.

Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve $r\ge 0.$

Generalizacija

Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je

$(1 + x)^r \geq 1 + rx\!$

za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i

$(1 + x)^r \leq 1 + rx\!$

za 0 ≤ r ≤ 1.

Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija. Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.

Vezane nejednakosti

Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je

$(1 + x)^r \le e^{rx},\!$

gdje je e = 2,718....

Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)^k < e.

Reference

• Carothers, N. (2000). Real Analysis, 9, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bullen, P.S. (1987). Handbook of Means and Their Inequalities, 4, Berlin: Springer.
• Zaidman, Samuel (1997). Advanced Calculus, 32, City: World Scientific Publishing Company.

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Bernoullijeva nejednakost na MathWorld-u.
• Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.