Bernoullijeva nejednakost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Ilustracija Bernoullijeve nejednakosti, sa grafikom y=(1 + x)^r i y=1 + rx prikazanom crvenom i plavom bojim, respektivno. Ovdje je r=3.

U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.

Nejednakost iskazuje da je

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi

(1 + x)^r > 1 + rx\!

za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.

Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.

Dokaz nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Za r=0,\,

(1+x)^0 \ge 1+0x

je ekvivalentna sa 1\ge 1, što je tačno.

Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za r=k:

(1+x)^k \ge 1+kx.

Tada slijedi da je

(1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx) (po hipotezi, pošto je (1+x)\ge 0)
\begin{matrix}
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2 \\
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2
\end{matrix}.

Međutim, kada je 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x (pošto jekx^2 \ge 0), slijedi da je (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x, što znači da je iskaz tačan za r=k+1.

Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve r\ge 0.

Generalizacija[uredi | uredi izvor]

Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

za 0 ≤ r ≤ 1.

Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija. Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.

Vezane nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je

(1 + x)^r \le e^{rx},\!

gdje je e = 2,718...

Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)k < e.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Carothers, N. (2000). Real Analysis, 9, Cambridge: Cambridge University Press ISBN 0521497566.
  • Bullen, P.S. (1987). Handbook of Means and Their Inequalities, 4, Berlin: Springer ISBN 1402015224.
  • Zaidman, Samuel (1997). Advanced Calculus, 32, City: World Scientific Publishing Company ISBN 9810227043.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]