Gudermannova funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Gudermannova funkcija sa njenim asimptotama y=±π/2 (plava boja).

Gudermannianova funkcija, nazvana po Christophu Gudermannu (1798. – 1852. godina), povezuje kružne i hiperboličke funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva.

Definisana je sa

\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}\\
&=\arcsin\left(\tanh(x)\right)
 =\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\
&=\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right)
 =\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\
&=\arctan\left(\sinh(x)\right)
 =\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right) \\
&=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)
=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}.
\end{align}\,\!

Sljedeći identiteti, također, važe:

\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}
\sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x);\quad
\csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\
\cos(\mbox{gd}(x))&=\mbox{sech}(x);\quad\,
\sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\
\tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x);\quad\,
\cot(\mbox{gd}(x))=\mbox{csch}(x);\\
{}_{\color{white}.}\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right).
\end{align}\,\!
Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna Gudermannova funkcija je data sa

\begin{align}
\mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}\\
&={}\mbox{arccosh}(\sec(x))=\mbox{arctanh}(\sin(x))\\
&={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\
&={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\
&={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)} .\end{align}\,\!

Derivacije Gudermannove funkcije i njenih inverzna su

\frac{d}{dx}\;\mbox{gd}(x)=\mbox{sech}(x);\quad\frac{d}{dx}\;\mbox{arcgd}(x)=\sec(x).\,\!

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]