Gudermannova funkcija

Gudermannova funkcija sa njenim asimptotama y=±π/2 (plava boja).

Gudermannianova funkcija, nazvana po Christophu Gudermannu (1798. – 1852. godina), povezuje kružne i hiperboličke funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva.

Definisana je sa

$\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dp}{\cosh(p)}\\ &=\arcsin\left(\tanh(x)\right) =\mbox{arccsc}\left(\coth(x)\right)\\ &=\arccos\left(\mbox{sech}(x)\right) =\mbox{arcsec}\left(\cosh(x)\right)\\ &=\arctan\left(\sinh(x)\right) =\mbox{arccot}\left(\mbox{csch}(x)\right) \\ &=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) =2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}. \end{align}\,\!$

Sljedeći identiteti, također, važe:

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black} \sin(\mbox{gd}(x))}}}&=\tanh(x);\quad \csc(\mbox{gd}(x))=\coth(x);\\ \cos(\mbox{gd}(x))&=\mbox{sech}(x);\quad\, \sec(\mbox{gd}(x))=\cosh(x);\\ \tan(\mbox{gd}(x))&=\sinh(x);\quad\, \cot(\mbox{gd}(x))=\mbox{csch}(x);\\ {}_{\color{white}.}\tan\left(\frac{\mbox{gd}(x)}{2}\right)&=\tanh\left(\frac{x}{2}\right). \end{align}\,\!$

Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna Gudermannova funkcija je data sa

$\begin{align} \mbox{arcgd}(x)&={\rm {gd}}^{-1}(x)=\int_0^x\frac{dp}{\cos(p)}\\ &={}\mbox{arccosh}(\sec(x))=\mbox{arctanh}(\sin(x))\\ &={}\ln\left(\sec(x)(1+\sin(x))\right)\\ &={}\ln(\tan(x)+\sec(x))=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\\ &={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)} .\end{align}\,\!$

Derivacije Gudermannove funkcije i njenih inverzna su

$\frac{d}{dx}\;\mbox{gd}(x)=\mbox{sech}(x);\quad\frac{d}{dx}\;\mbox{arcgd}(x)=\sec(x).\,\!$

Također pogledajte

• Distribucija hiperboličke sekante
• Mercatorova projekcija
• Formula tangensa polovine ugla
• Traktrisa
• Spisak trigonometrijskih identiteta

Reference

• CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323–5.
• Eric W. Weisstein, Gudermannian na MathWorld-u.