Spisak formula koje sadrže π

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

Ovaj članak je spisak značajnih formula koje sadrže matematičku konstantu π.

Klasična geometrija[uredi | uredi izvor]

O = 2 \pi r = \pi d,\,

gdje je O obim kruga, r je radijus, a d je dijametar.

P = \pi r^2,\,

gdje je P površina kruga, a r je radijus.

V = {4 \over 3}\pi r^3,

gdje je V zapremina sfere, a r je radijus.

P = 4\pi r^2\,

gdje je P površina sfere, a r je radijus.

Analiza[uredi | uredi izvor]

Integrali[uredi | uredi izvor]

\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} (pogledajte π)


\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi (pogledajte π)


\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi (integral oblika arctan preko svog cijelog domena, date period tan).


\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} (pogledajte normalna raspodjela).


\oint\frac{dz}{z}=2\pi i (kada se put integracije omota kednom u smijeru suprotnom od kazaljke na satu oko 0. Pogledajte Cauchyjeva integralna formula)


\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.


\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi (pogledajte dokaz da 22 podijeljeno sa 7 prelazi vrijednost π]]).

Valjani beskonačni redovi[uredi | uredi izvor]

\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\frac{\pi}{2} (pogledajte dvostruki faktorijel)
12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}=\frac{1}{\pi} (pogledajte Braća Čudnovski)
\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac{1}{\pi} (pogledajte Srinivasa Ramanujan)
\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi[1]

Slijedeć formule su pogodne za računanje proizvoljnih binarnih decimala broja π:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi (pogledajte Bailey-Borwein-Plouffeova formula)
\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi

Ostali beskonačni redovi[uredi | uredi izvor]

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4} (pogledajte Leibnizova formula za pi)
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (pogledajte Baselov problem i zeta funkcija)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(2n)= \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}

Machinove formule[uredi | uredi izvor]

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} (originalna Machinova formula)
\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

Beskonačni proizvodi[uredi | uredi izvor]

 \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (pogledajte Wallisov proizvod)

Vietaova formula:

\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi

Tri neprekidna razlomka[uredi | uredi izvor]


3+\pi= {6 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{\ddots\,}}}}}

\frac{4}{\pi} = {1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{\ddots}}}}}

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{9}{2 + \cfrac{25}{2 + \cfrac{49}{\ddots}}}}}\,

Za više informacija o trećem identitetu, pogledajte Eulerova formula za neprekidni razlomak.

(Također pogledajte članke neprekidni razlomak i uopćeni neprekidni razlomak.)

Razno[uredi | uredi izvor]

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Stirlingova aproksimacija)
e^{i \pi} + 1 = 0\; (Eulerov identitet)
\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2} (pogledajte Eulerova fi funkcija)
\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2} (pogledajte Eulerova fi funkcija)
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi} (pogledajte gama funkcija)
\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2} (gdje je ags aritmetičko-geometrijska sredina)

Fizika[uredi | uredi izvor]

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]