Cassinijev oval

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
mali

Cassinijev oval je kriva četvrtog reda, koja se može definirati kao geometrijsko mjesto tačaka koje zadovoljavaju uslov da je konstantan proizvod njihove razdaljine od dvije fiksne tačke. Kriva je imenovana prema astronomu Giovanni Domenicu Cassini, koji ju je proučavao 1680. Cassini je pogrešno smatrao da ta kriva tačnije predstavlja kretanje Zemlje.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Neka su i dvije fiksne tačke u ravni i neka je neka konstanta. Kasinijev oval sa fokusima i se definiše kao proizvod udaljenosti neke tačke od i od i pretpostavlja se da je tj:

Cassinijev oval u pravouglim koordinatama[uredi | uredi izvor]

Neka su fokusi u i . Uzmimo proizvoljnu tačku i nađimo rastojanja od nje i pretpostavimo da je to konstanta .

U polarnim koordinatama[uredi | uredi izvor]

Animated Line of Cassini.gif
Mijenja se parametar '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'

Pođemo li od oblika u pravougaonim koordinatama

zamjenom

dobijamo

()

Osobine[uredi | uredi izvor]

Jednačina Cassinijevog ovala ima dva nezavisna parametra;

polovina udaljenosti između dva fokusa i

, čiji kvadrat predstavlja proizvod udaljenosti od bilo koje tačke do fokusa.

Međusobni odnos parametara određuje oblik Cassinijevog ovala, tako da postoji više različitih oblika u zavisnosti od kvocijenta dva parametra

  • kriva se pretvara u dvije tačke.
  • kriva se raspada na dva ovala, koji liče na dva jajeta
  • , тј. , oval se tada pretvara u Bernulijevu lemniskatu
  • , tj. ,nastaju 4 pregibne tačke
  • , тј. kriva postaje oval
  • , тј. и па крива постаје круг.
  • Radijus zakrivljenosti u polarnim koordinatama je

Izvori[uredi | uredi izvor]