Izvorni kôd stranice Logaritam

{{Razlikovati|Algoritam}}
[[Datoteka:Binary logarithm plot with ticks.svg|right|thumb|upright=1.35|[[Grafik funkcije|Grafik]] logaritma za bazu 2 presijeca [[x-osa|''x''-osu]] (horizontalna osa) u tački 1 i prolazi dalje kroz tačke sa [[koordinata]]ma {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, i {{nowrap|(8, 3)}}. Naprimjer, {{nowrap|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}}, jer je {{nowrap|2<sup>3</sup> {{=}} 8.}} Kriva se neprestano približava ''y''-osi, ali [[asimptota|je nikad ne dodiruje niti presijeca]].]]

U [[matematika|matematici]], '''logaritam''' je [[inverzna operacija]] za [[eksponencija|eksponenciju]]. To znači da je logaritam broja ustvari [[eksponent]] za koju određena fiksna vrijednost, [[baza (eksponencija)|baza]], mora biti stepenovana da proizvede taj broj. U jednostavnim slučajevima logaritam se smatra ponovljenim množenjem. Naprimjer, baza {{math|10}} logaritma od {{math|1000}} jeste {{math|3}}, jer {{math|10}} stepenovan brojem {{math|3}} daje {{math|1000}} ({{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>}}); multiplikacija se ponavlja tri puta. Općenitije, eksponencija dopušta bilo kojem [[realni broj|realnom broju]] da se podigne na bilo koji realan stepen, uvijek proizvodeći pozitivan rezultat, tako da se logaritam može izračunati za bilo koja dva pozitivna realna broja {{math|''b''}} i {{math|''x''}} gdje {{math|''b''}} nije jednako {{math|1}}. Logaritam od {{math|''x''}} za ''bazu'' {{math|''b''}}, piše se {{math|log<sub>''b''</sub>(''x'')}}, jedinstven je realan broj {{math|''y''}} takav da vrijedi
:{{math|1=''b''<sup>''y''</sup> = ''x''}}.
Naprimjer, jer je {{math|1=64 = 2<sup><sup>6</sup></sup>}}, onda je:
:{{math|1=log<sub>2</sub>(64) = 6}}

Logaritam za bazu {{math|10}} (gdje je {{math|1=''b'' = 10}}) zove se [[opći algoritam]] i ima nekoliko primjena u nauci i inženjerstvu. [[Prirodni logaritam]] ima [[e (matematička konstanta)|broj {{nowrap begin}}{{math|''e''}}]] ({{math|≈ 2.718}}{{nowrap end}}) kao bazu; njegova primjena je raširena u matematici i [[fizika|fizici]], zbog svog jednostavnijeg [[izvod]]a. [[Binarni logaritam]] koristi bazu {{math|2}} (gdje je {{math|1=''b'' = 2}}) i često se koristi u [[računarstvo|računarstvu]].

Logaritme je uveo [[John Napier]] početkom 17. vijeka radi pojednostavljenja proračuna. Oni se uveliko koriste od strane navigatora, naučnika, inženjera i ostalih kako bi se računarski proračuni izvršavali mnogo lakše, koristeći [[logaritmar]] i [[Matematička tabla|logaritamske tablice]]. Zamorno višecifreno množenje mogu zamijeniti tablice s jednostavnim sabiranjem zbog činjenice — veoma važne — da je logaritamski [[proizvod (matematika)|proizvod]] zapravo [[zbir]] logaritama faktora:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y), \,</math>
gdje su {{math|''b''}}, {{math|''x''}} i {{math|''y''}} svi pozitivni i {{math|''b'' ≠ 1}}.
Današnji pojam logaritma dolazi od [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]], koji je napravio vezu između logaritama i [[eksponencijalna funkcija|eksponencijalne funkcije]] u 18. vijeku.

[[Logaritamska skala]] smanjuje širok spektar veličina na manje prostora. Naprimjer, [[decibel]] je [[mjerna jedinica]] jačine signala snage log-odnosa i amplitude log-odnosa (od kojih je [[zvučni pritisak]] čest primjer). U hemiji, [[pH]] je logaritamska mjera za [[kiselina|kiselost]] [[vodena otopina|vodene otopine]]. Logaritmi su uobičajena u naučnim [[formula]]ma, te u mjerama [[Računarska teorija složenosti|kompleksnosti algoritama]] i geometrijskih objekata zvanih [[fraktal]]i. Oni opisuju [[Interval (muzika)|muzičke intervale]], pojavljuju se u formulama brojeći [[prosti broj|proste brojeve]], informišu neke modele u [[psihofizika|psihofizici]], te mogu pomoći u [[forenzičko računovodstvo|forenzičkom računovodstvu]].

Na isti način kako logaritam služi [[eksponencija|eksponenciji]], [[kompleksni logaritam]] je [[inverzna funkcija]] eksponencijalne funkcije primijenjene na [[kompleksni broj|kompleksne brojeve]]. [[Diskretni logaritam]] je naredna varijanta; koristi se u [[asimetrična kriptografija|asimetričnoj kriptografiji]].

== Motivacija i definicija ==
Ideja logaritama je da obrnu operaciju [[eksponencija|eksponencije]], to jeste, stepenovanje broja određenim stepenom. Naprimjer, treći stepen (ili [[kocka (algebra)|kocka]]) od 2 jeste 8, jer je 8 proizvod tri faktora 2:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,</math>
To znači daje logaritam od 8 sa bazom 2 upravo 3, tako da je log<sub>2</sub>&nbsp;8&nbsp;=&nbsp;3.

=== Eksponencija ===
Treći stepen nekog broja ''b'' jeste proizvod tri faktora od ''b''. Općenitije, stepenovanjem ''b'' na {{nowrap|''n''-ti}} stepen, gdje je ''n'' [[prirodni broj]], radi se množenjem ''n'' faktora od ''b''. {{nowrap|''n''-ti}} stepen od ''b'' se piše kao ''b''<sup>''n''</sup>, tako da je
:<math>b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ factors}}.</math>
Eksponencija se može proširiti na ''b''<sup>''y''</sup>, gdje je ''b'' pozitivni broj i ''eksponent'' ''y'' je bilo koji [[realni broj]]. Naprimjer, ''b''<sup>−1</sup> je recipročan od ''b'', to jeste, {{nowrap|1/''b''}}.

=== Definicija ===
''Logaritam'' pozitivnog realnog broja ''x'' sa bazom ''b'', pozitivni realan broj nejednak sa 1{{refn|Restrikcije na ''x'' i ''b'' su opisane u sekciji [[#Analitička svojstva|"Analitička svojstva"]].|group=nb}}, jeste eksponent kojim ''b'' mora biti stepenovan da se dobije ''x''. Drugim riječima, logaritam od ''x'' za bazu ''b'' je rješenje ''y'' za jednačinu<ref>{{Citation|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url=https://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}, poglavlje 1</ref>
: <math>b^y = x. \,   </math>

Logaritam je opisan "log<sub>''b''</sub>(''x'')" (čita se "logaritam od ''x'' za bazu ''b''". U jednačini ''y'' = log<sub>''b''</sub>(''x''), vrijednost ''y'' je odgovor na pitanje "Na koji stepen mora biti ''b'' dignut, da bi se dobio ''x''?". Ovo pitanje može također biti upućeno (sa bogatijim odgovorom) za [[kompleksni broj|kompleksne brojeve]], što je pokazano u sekciji [[#Kompleksni logaritam|"Kompleksni logaritam"]].

=== Primjeri ===
Naprimjer, {{nowrap|log<sub>2</sub>(16) {{=}} 4}}, pošto je {{nowrap|2<sup>4</sup> {{=}} 2 ×2 × 2 × 2}} {{=}} 16. Logaritmi također mogu biti negativni:
:<math>\log_2 \!\left( \frac{1}{2} \right) = -1,\, </math>
pošto je
: <math>2^{-1} = \frac 1 {2^1} = \frac 1 2.</math>
Treći primjer: log<sub>10</sub>(150) je približno 2.176, što leži između 2 i 3, kao što 150 leži između {{nowrap|10<sup>2</sup> {{=}} 100}} i {{nowrap|10<sup>3</sup> {{=}} 1000}}. Konačno, za bilo koju bazu ''b'', {{nowrap|log<sub>''b''</sub>(''b'') {{=}} 1}} i {{nowrap|1=log<sub>''b''</sub>(1) = 0}}, pošto važi {{nowrap|''b''<sup>1</sup> {{=}} ''b''}} i {{nowrap|''b''<sup>0</sup> {{=}} 1}}, redom.

== Logaritamski identiteti ==
{{Glavni|Spisak logaritamskih identiteta}}

Nekoliko važnih formula, ponekad zvanih ''logaritamski identiteti'' ili ''logaritamski zakoni'', vežu logaritme međusobno.<ref>Svi iskazi u ovoj sekciji mogu biti pronađeni u {{Harvard citations|last1=Shirali|first1=Shailesh|year=2002|loc=section 4|nb=yes}}, {{Harvard citations|last1=Downing| first1=Douglas |year=2003|loc=p. 275}}, ili {{Harvard citations|last1=Kate|last2=Bhapkar|year=2009|loc=p. 1-1|nb=yes}}, naprimjer.</ref>

=== Proizvod, koeficijent, stepen i korijen ===
Logaritam proizvoda jeste suma logaritama brojeva koji se množe; logaritam odnosa dva broja jednaka je razlici logaritama. Logaritam od {{nowrap|''p''-tog}} stepena broja je ''p'' puta logaritam samog broja; logaritam od {{nowrap|''p''-tog}} korijena je logaritam broja podijeljen sa ''p''. Slijedeća tabela pokazuje ove identitete sa primjerima. Svaki od ovih identiteta može biti izveden nakon smjene definicije logaritma <math>x = b^{\log_b(x)}</math> ili <math>y = b^{\log_b(y)}</math> na lijevoj strani.

{| class="wikitable" style="margin: 0 auto;"
|-
!  !! Formula !! Primjer
|-
| proizvod || <cite id="labegarithmProducts"><math> \log_b(x y) = \log_b (x) + \log_b (y)</math></cite>|| <math> \log_3 (243) = \log_3(9 \cdot 27) = \log_3 (9) + \log_3 (27) =  2 + 3 = 5</math>
|-
| koeficijent || <math>\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b (x) - \log_b (y)</math>|| <math> \log_2 (16) = \log_2 \!\left ( \frac{64}{4} \right ) = \log_2 (64) - \log_2 (4) = 6 - 2 = 4</math>
|-
| stepen || <cite id="labelLogarithmPowers"><math>\log_b(x^p) = p \log_b (x)</math></cite>|| <math> \log_2 (64) = \log_2 (2^6) = 6 \log_2 (2) = 6</math>
|-
| korijen || <math>\log_b \sqrt[p]{x} = \frac {\log_b (x)} p</math>|| <math> \log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5 </math>
|}

=== Izmjena baze ===
Logaritam log<sub>''b''</sub>(''x'') može biti izračunat iz logaritama od ''x'' i ''b'' uzimajući u obzir proizvoljnu bazu ''k'' preko sljedeće formule:
: <cite id="labelLogarithmBaseChange"><math> \log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}.\, </math></cite>
Obični [[naučni digitron]] računa logaritme sa bazama 10 i [[e (matematička konstanta)|konstantom ''e'']].<ref>{{Citation | last1=Bernstein | first1=Stephen | last2=Bernstein | first2=Ruth | title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | series=Schaum's outline series | isbn=978-0-07-005023-5 | year=1999 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern }}, str. 21</ref> Logaritmi s obzirom na bilo koju bazu ''b'' mogu se odrediti korištenjem bilo kojih od dva logaritama preko prethodne formule:
:<math> \log_b (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)}. \,</math>
Neka je dat broj ''x'' i njegov logaritam log<sub>''b''</sub>(''x'') za nepoznatu bazu ''b'', baza je data sa:
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>

== Određene baze ==
Među svim izborima za bazu, tri su posebno česta. To su ''b''&nbsp;=&nbsp;10, ''b''&nbsp;=&nbsp;[[e (matematička konstanta)|''e'']] ([[Iracionalan broj|iracionalna]] matematička konstanta ≈ 2,71828), i ''b''&nbsp;=&nbsp;2. U [[maatematička analiza|matematičkoj analizi]], logaritam za bazu ''e'' je raširen zbog svojih određenih analitičkih svojstava objašnjenih ispod. U drugu ruku, algoritmi s bazom 10 su jednostavni za koristiti za ručne proračune u decimalnom brojnom sistemu:<ref>{{Citation|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, N.Y.|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chapter 17, str. 275</ref>
:<math>\log_{10}(10 x) = \log_{10}(10) + \log_{10}(x) = 1 + \log_{10}(x).\ </math>
Tako, log<sub>10</sub>(''x'') je vezan za broj [[decimalni broj|decimalnih brojeva]] pozitivnog cijelog broja ''x'': broj brojki je najmanji [[cijeli broj]] striktno veći od log<sub>10</sub>(''x'').<ref>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, str. 20</ref> Naprimjer, log<sub>10</sub>(1430) je približno 3,15. Slijedeći cijeli broj je 4, što je broj brojki od 1430. I prirodni logaritam i logaritam za bazu 2 se koriste u [[informaciona teorija|informacionoj teoriji]], što odgovara upotrebi [[Nat (jedinica)|natu]] ili [[bit]]ovima kao osnovnim jedinicama informacije, respektivno.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}</ref> Binarni logaritmi su također korišteni u [[računarstvo|računarstvu]], gdje je [[binarni brojni sistem]] sveprisutan, u [[muzička teorija|muzičkoj teoriji]], gdje je omjer visine tona dva ([[oktava]]) sveprisutan i [[Cent (muzika)|cent]] je binarni logaritam (umanjen za 1200) od odnosa između dva susjedna jednako smirena tona, te u [[fotografija|fotografiji]] za mjerenje vrijednosti izlaganja.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=https://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}</ref>

Slijedeća tabela pokazuje česte notacije za logaritme za ove baze i polja gdje se koriste. Dosta disciplina piše log(''x'') umjesto log<sub>''b''</sub>(''x''), kada se izabrana baza može odrediti iz konteksta. Notacija <sup>''b''</sup>log(''x'') također se pojavljuje.<ref>{{Citation| url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html |author1=Franz Embacher |author2=Petra Oberhuemer |title=Mathematisches Lexikon |publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium |access-date=22. 3. 2011 |language=de}}</ref> Kolona "ISO notacija" pokazuje preporuke od [[Međunarodna organizacija za strandardizaciju|ISO organizacije]], ([[ISO 31-11]]).<ref>{{Citation|title = Guide for the Use of the International System of Units (SI)|first = B. N.|last = Taylor|publisher = US Department of Commerce|year=1995|url = http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2|access-date=27. 7. 2016|archive-url = https://web.archive.org/web/20070629210131/http://physics.nist.gov/Pubs/SP811/sec10.html#10.1.2|archive-date=29. 6. 2007|url-status = dead}}</ref>

{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
! scope="col"|Baza ''b''
! scope="col"|Ime za log<sub>''b''</sub>(''x'')
! scope="col"|ISO notacija
! scope="col"|Druge notacije
! scope="col"|Koristi se u
|-
! scope="row"|2
| [[binarni logaritam]]
| lb(''x'')<ref name="gullberg">{{Citation|title = Mathematics: from the birth of numbers.|author = Gullberg, Jan|location = New York|publisher = W. W. Norton & Co|year=1997|isbn = 978-0-393-04002-9|url-access = registration|url = https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull}}</ref>
| ld(''x''), log(''x''), lg(''x''),<ref>Pogledati fusnotu 1 u {{cite journal|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|date=decembar 1977|volume=6|issue=6|pages=219–222|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2}}</ref> log2(''x'')
| [[računarstvo]], [[informaciona teorija]], [[muzička teorija]], [[fotografija]]
|-
! scope="row"|''e''
| [[prirodni logaritam]]
| ln(''x''){{refn|Neki matematičari ne podržavaju ovu notaciju. U njegovoj autobiografiji iz 1985., [[Paul Halmos]] je kritizirao ono što je smatrao "dječija ln notacija", za koju je rekao da je nijedan matematičar nikad nije koristio.<ref>
{{Citation
|title = I Want to Be a Mathematician: An Automathography
|author = Paul Halmos
|publisher =  Springer-Verlag
|location=Berlin, New York
|year=1985
|isbn=978-0-387-96078-4
}}</ref>
Notaciju je uveo [[Irving Stringham]], matematičar.<ref>
{{Citation
|title =  Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis
|author = Irving Stringham
|publisher =  The Berkeley Press
|year=1893
|page = xiii
|url = https://books.google.com/?id=hPEKAQAAIAAJ&pg=PR13&dq=%22Irving+Stringham%22+In-natural-logarithm&q=
}}</ref><ref>
{{Citation|title =  Introduction to Financial Technology|author =  Roy S. Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year=2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = https://books.google.com/?id=APJ7QeR_XPkC&pg=PA59 
}}</ref>|name=adaa|group=nb}}
| log(''x'')<br />(u matematici <ref>vidjeti teoremu 3.29 u {{cite book|last1=Rudin|first1=Walter|title=Principles of mathematical analysis|date=1984|publisher=McGraw-Hill International|location=Auckland|isbn=978-0070856134|edition=3rd ed., International student|url-access=registration|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi}}</ref> i više [[programski jezik|programskih jezika]]{{refn|Naprimjer [[C (programski jezik)|C]], [[Java (programski jezik)|Java]], [[Haskell (programski jezik)|Haskell]] i [[BASIC]].|group=nb}})
| matematika, fizika, hemija,<br />[[statistika]], [[ekonomija]], informaciona teorija, i neka polja inženjerstva
|-
! scope="row"|10
| [[opći logaritam]]
| lg(''x'')
| log(''x''), log<sub>10</sub>(''x'')<br />(u inženjerstvu, biologiji, astronomiji)
| različita [[inženjerstvo|inženjerska polja]] (pogledati [[decibel]] i ostalo ispod), <br />logaritamske [[Matematička tablica|tablice]], ručni [[digitron]], [[spektroskopija]]
|}

== Historija ==
{{Glavni|Hitorija logaritama}}
'''Historija logaritama''' u Evropi u 17. vijeku jeste otkriće nove [[funkcija (matematika)|funkcije]] koja je proširila stvarnost analize iza opsega algebarske metode. Metodu logaritama je javno objavio [[John Napier]] 1614. godine, u knjizi naslova ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (''Opis čudesnog pravila logaritama'').<ref>{{citation |first=John |last=Napier |author-link=John Napier |title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio |trans-title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms |language=Latin |location=Edinburgh, Scotland |publisher=Andrew Hart |year=1614 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001 }}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William |last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Prije Napierovog izuma, postojale su slične tehnike sličnog opsega, kao što su prostafereza ili korištenje tablica progresije, koje je ekstenzivno razvio [[Jost Bürgi]] oko 1600. godine.<ref name="folkerts">{{citation |first1=Menso |last1=Folkerts |first2=Dieter |last2=Launert |first3=Andreas |last3=Thom |date=otobar 2015 |title=Jost Bürgi's Method for Calculating Sines |arxiv=1510.03180}}</ref><ref name="burgimactutor">MacTutor članak @ Jost Bürgi: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burgi.html</ref>

[[Opći logaritam]] broja je indeks onog stepena od deset koji je jednak tom broju.<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> Govoreći o broju koji zahtijeva mnogo cifara jeste grubi nagovještaj općeg logaritma, kojeg je spominjao [[Arhimed]] kao "red broja".<ref>R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", [[Two-Year College Mathematics Journal]] 8(1):22–6.</ref> Prvi realni logaritmi bile su heurističke metode koje su pretvarale množenje u sabiranje, čime se olakšava brzo računanje. Neke od tih metoda koristile su tablice izvedene iz trigonometrijskih identiteta.<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, str. 117, Springer {{ISBN|978-0-387-92153-2}}</ref>
Takve metoda se naziva [[prostafereza]].

Izum [[funkcija (matematika)|funkcije]] sada poznate kao [[prirodni logaritam]] počeo je kao pokušaj da se obavi [[kvadratura (matematika)|kvadratura]] pravougaone [[hiperbola|hiperbole]] od [[Gregoire de Saint Vincent]]a, belgijskog Jezuita koji je boravio u Pragu. Arhimed je napisao ''Kvadraturu hiperbole'' u 3. vijeku p.n.e, ali kvadratura za hiperbolu izmicala je svima naporima dok Saint-Vincent nije objavio svoje rezultate 1647. godine. Veza koju pruža logaritam između [[geometrijska progresija|geometrijske progresije]] u svom [[argument funkcije|argumentu]] i [[arimetička progresija|aritmetičke progresije]] vrijednosti, podstakla je [[A. A. de Sarasa]] da napravi vezu između Saint-Vincentove kvadrature i tradicije logaritama u prostaferezi, što je dovelo do pojma "hiperbolni logaritam", sinomnim za prirodni logaritam. Uskoro je nova funkcija cijenjena od strane naučnik: [[Christiaan Huygens|Huygensa]], Pataviija, i [[James Gregory (matematičar)|Jamesa Gregoryja]]. Notaciju Log y je uveo [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] 1675. godine,<ref>[[Florian Cajori]] (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", [[American Mathematical Monthly]] 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.</ref> a sljedeće godine on ju je povezao sa [[integral]]om
<math>\int \frac{dy}{y} .</math>

== Logaritamke tablice, logaritamska skala i historijske primjene ==
[[Datoteka:Logarithms Britannica 1797.png|thumb|360px|right|Objašnjenje logaritma iz 1797. godine, ''[[Encyclopædia Britannica]]'']]

Pojednostavljenjem teških proračuna, logaritmi su doprinijeli razvoju nauke, naročito [[astronomija|astronomije]]. Bili su značajni za napredak u [[anketa|anketiranje]], [[nebeska navigacija|nebeskoj navigaciji]] i drugim domenama. [[Pierre-Simon Laplace]] nazivao je logaritme:

::"...divljenja vrijedno lukavstvo koje, reduciranjem na nekoliko dana rad od nekoliko mjeseci, uduplava život astronoma, te ga pošteđuje grešaka i gađenja koje uzrokuje dugi proračun."<ref>{{Citation |last1=Bryant |first1=Walter W. |title=A History of Astronomy |url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up |publisher=Methuen & Co|location=London }}, str. 44</ref>

Ključni alat koji je dopustio praktičnu upotrebu logaritama prije digitrona i računara bile su ''[[logaritamska tablica|logaritamske tablice]]''.<ref>{{Citation | last1=Campbell-Kelly | first1=Martin | title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher=[[Oxford University Press]] | series=Oxford scholarship online | isbn=978-0-19-850841-0 | year=2003}}, sekcija 2</ref> Prvu takvu tablicu kompajlirao je [[Henry Briggs (matematičar)|Henry Briggs]] 1617. godine, odmah nakon Napierovog izuma. Naknadno, napravljene su tablice sa povećanim opsegom. Ove tablice su listale vrijednosti od log<sub>''b''</sub>(''x'') i ''b''<sup>''x''</sup> za svaki broj ''x'' u određenom opsegu, sa određenom preciznošću, za određenu bazu ''b'' (često {{nowrap begin}}''b'' = 10{{nowrap end}}). Naprimjer, Briggsova prva tabela sadržavala je opće logaritme svih cijelih brojeva u nizu 1–1000, sa preciznošću od 14 cifara. Kako je funkcija {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''b''<sup>''x''</sup>}} inverzna funkcija od log<sub>''b''</sub>(''x''), bila je nazvana '''antilogaritam'''.<ref>{{Citation|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=Milton Abramowitz|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=Irene Stegun|title=[[Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972}}, sekcija 4.7., str. 89</ref> Proizvod i koeficijent od dva pozitivna broja ''c'' i ''d'' bili su rutinski računari kao suma i razlika njihovih logaritama. Proizvod ''cd'' ili koeficijent ''c''/''d'' dolazio je od uzimanja antilogaritma zbira ili razlike, također preko iste tabele:
:<math> c d = b^{\log_b (c)} \, b^{\log_b (d)} = b^{\log_b (c) + \log_b (d)} \,</math>
i
:<math>\frac c d = c d^{-1} = b^{\log_b (c) - \log_b (d)}. \,</math>

== Analitička svojstva ==
Dublji studiji logaritama zahtijevaju koncept ''[[funkcija (matematika)|funkcije]]''. Funkcija je pravilo koje, kada mu se da broj, proizvodi neki drugi broj.<ref>{{Cite book | last1=Devlin | first1=Keith | author1-link=Keith Devlin | title=Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher=Chapman & Hall/CRC | location=Boca Raton, Fla | edition=3rd | series=Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn=1-58488-449-5 | year=2004 | url=https://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false}}</ref> Primjer je funkcija koja proizvodi {{nowrap|''x''-ti}} stepen od ''b'' za bilo koji realan broj ''x'', gdje je baza ''b'' fiksni broj. Ova se funkcija piše kao
:<math>f(x) = b^x. \, </math>

=== Logaritamska funkcija ===
Da bi se opravdala definicija logaritama, potrebno je pokazati da jednačina
:<math>b^x = y \,</math>
ima rješenje ''x'' i da je rješenje jedinstveno, pod uvjetom da je ''y'' pozitivan i da je ''b'' pozitivan i različit od 1. Dokaz ovog slučaja zahtijeva teoremu o srednjoj vrijednosti iz elementarnog [[kalkulus]]a.<ref name=LangIII.3>{{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997}}, sekcija III.3</ref> Ova teorema drži da [[neprekidna funkcija]] koja proizvodi dvije vrijednosti ''m'' i ''n'' također proizvodi bilo koju vrijednost koja leži između ''m'' i ''n''. Funkcija je ''neprekidna'' ako ne "skače", tj. ako se njezin grafik može nacrtati bez podizanja olovke.

Ovo svojestvo može biti prikazano da važi za funkciju {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Pošto ''f'' uzima proizvoljno velike i proizvoljno male pozitivne vrijednosti, bilo koji broj {{nowrap|''y'' > 0}} leži između ''f''(''x''<sub>0</sub>) i ''f''(''x''<sub>1</sub>) za odgovarajući ''x''<sub>0</sub> and ''x''<sub>1</sub>. Stoga, teorema o srednjoj vrijednosti osigurava da jednačina ''f''(''x'') = ''y'' ima rješenje. Štaviše, postoji samo jedno rješene za ovu jednačinu, jer je funkcija ''f'' [[monotona funkcija|strogo rastuća]] (za {{nowrap|''b'' > 1}}), ili strogo opadajuća (za {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).<ref name=LangIV.2>{{Harvard citations|last1=Lang|year=1997 |nb=yes|loc=section IV.2}}</ref>

Jedinstveno rješenje ''x'' je logaritam od ''y'' za bazu ''b'', log<sub>''b''</sub>(''y''). Funkcija koja dodjeljuje ''y'' svoj logaritam zove se ''logaritamska funkcija'' ili ''logaritmična funkcija'' (ili samo ''logaritam'').

Funkcija log<sub>''b''</sub>(''x'') je u suštini okarakerisana formulom proizvoda iznad
:<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).</math>
Preciznije, logaritam za svaku bazu {{nowrap|''b'' > 1}} je samo [[rastuća funkcija]] ''f'' od pozitivnih realnih brojeva do realnih brojeva koji zadovoljavaju {{nowrap begin}}''f''(''b'') = 1{{nowrap end}} i <ref>{{cite book| title=Foundations of Modern Analysis |volume=1 |last=Dieudonné |first=Jean |page=84 |year=1969 |publisher=Academic Press }} item (4.3.1)</ref>
:<math>f(xy)=f(x)+f(y).</math>

== Također pogledajte ==
* [[Prirodni logaritam]]
* [[Beskonačni logaritam]]
* [[Iterativni logaritam]]
* [[Diskretni logaritam]]
* [[Zechovi logaritmi]]
* [[Logaritam matrice]]
* [[Decibel]]

== Bilješke ==
{{reflist|group=nb|30em}}

== Reference ==
{{refspisak|2}}

== Vanjski linkovi ==
* {{Commonscat|Logarithm}}
* {{Wikirječnik|Logarithm}}
* [https://web.archive.org/web/20121218200616/http://www.khanacademy.org/math/algebra/logarithms-tutorial Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures]
* {{springer|title=Logarithmic function|id=p/l060600}}
* {{Citation|author=Colin Byfleet|url=http://mediasite.oddl.fsu.edu/mediasite/Viewer/?peid=003298f9a02f468c8351c50488d6c479|title=Educational video on logarithms|access-date=12. 10. 2010}}
* {{Citation|author=Edward Wright |url=http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm |title=Translation of Napier's work on logarithms |access-date=12. 10. 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20021203005508/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm |archive-date=3. 12. 2002}}

{{Elementarna aritmetika}}

[[Kategorija:Logaritmi| ]]
[[Kategorija:Elementarne posebne funkcije]]
[[Kategorija:Škotski izumi]]
[[Kategorija:Aditivne funkcije]]