Logaritam

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Grafik logaritma za bazu 2 presijeca x-osu (horizontalna osa) u tački 1 i prolazi dalje kroz tačke sa koordinatama (2, 1), (4, 2), i (8, 3). Naprimjer, log2(8) = 3, jer je 23 = 8. Kriva se neprestano približava y-osi, ali je nikad ne dodiruje niti presijeca.

U matematici, logaritam je inverzna operacija za eksponenciju. To znači da je logaritam broja ustvari eksponent za koju određena fiksna vrijednost, baza, mora biti stepenovana da proizvede taj broj. U jednostavnim slučajevima logaritam se smatra ponovljenim množenjem. Naprimjer, baza 10 logaritma od 1000 jeste 3, jer 10 stepenovan brojem 3 daje 1000 (1000 = 10 × 10 × 10 = 103); multiplikacija se ponavlja tri puta. Općenitije, eksponencija dopušta bilo kojem realnom broju da se podigne na bilo koji realan stepen, uvijek proizvodeći pozitivan rezultat, tako da se logaritam može izračunati za bilo koja dva pozitivna realna broja b i x gdje b nije jednako 1. Logaritam od x za bazu b, piše se logb(x), jedinstven je realan broj y takav da vrijedi

by = x.

Naprimjer, pošto je 64 = 26, onda je:

log2(64) = 6

Logaritam za bazu 10 (gdje je b = 10) zove se opći algoritam i ima nekoliko primjena u nauci i inženjerstvu. Prirodni logaritam ima broj e (≈ 2.718) kao bazu; njegova primjena je raširena u matematici i fizici, zbog svog jednostavnijeg izvoda. Binarni logaritam koristi bazu 2 (gdje je b = 2) i često se koristi u računarstvu.

Logaritme je uveo John Napier početkom 17. vijeka radi pojednostavljenja proračuna. Oni se uveliko koriste od strane navigatora, naučnika, inženjera i ostalih kako bi se računarski proračuni izvršavali mnogo lakše, koristeći logaritmar i logaritamske tablice. Zamorno višecifreno množenje mogu zamijeniti tablice s jednostavnim sabiranjem zbog činjenice — veoma važne — da je logaritamski proizvod zapravo zbir logaritama faktora:

gdje su b, x i y svi pozitivni i b ≠ 1. Današnji pojam logaritma dolazi od Leonharda Eulera, koji je napravio vezu između logaritama i eksponencijalne funkcije u 18. vijeku.

Logaritamska skala smanjuje širok spektar veličina na manje prostora. Naprimjer, decibel je mjerna jedinica jačine signala snage log-odnosa i amplitude log-odnosa (od kojih je zvučni pritisak čest primjer). U hemiji, pH je logaritamska mjera za kiselost vodene otopine. Logaritmi su uobičajena u naučnim formulama, te u mjerama kompleksnosti algoritama i geometrijskih objekata zvanih fraktali. Oni opisuju muzičke intervale, pojavljuju se u formulama brojeći proste brojeve, informišu neke modele u psihofizici, te mogu pomoći u forenzičkom računovodstvu.

Na isti način kako logaritam služi eksponenciji, kompleksni logaritam je inverzna funkcija eksponencijalne funkcije primijenjene na kompleksne brojeve. Diskretni logaritam je naredna varijanta; koristi se u asimetričnoj kriptografiji.

Motivacija i definicija[uredi | uredi izvor]

Ideja logaritama je da obrnu operaciju eksponencije, to jeste, stepenovanje broja određenim stepenom. Naprimjer, treći stepen (ili kocka) od 2 jeste 8, jer je 8 proizvod tri faktora 2:

To znači daje logaritam od 8 sa bazom 2 upravo 3, tako da je log2 8 = 3.

Eksponencija[uredi | uredi izvor]

Treći stepen nekog broja b jeste proizvod tri faktora od b. Općenitije, stepenovanjem b na n-ti stepen, gdje je n prirodni broj, radi se množenjem n faktora od b. n-ti stepen od b se piše kao bn, tako da je

Eksponencija se može proširiti na by, gdje je b pozitivni broj i eksponent y je bilo koji realni broj. Naprimjer, b−1 je recipročan od b, to jeste, 1/b.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Logaritam pozitivnog realnog broja x sa bazom b, pozitivni realan broj nejednak sa 1[nb 1], jeste eksponent kojim b mora biti stepenovan da se dobije x. Drugim riječima, logaritam od x za bazu b je rješenje y za jednačinu[1]

Logaritam je opisan "logb(x)" (čita se "logaritam od x za bazu b". U jednačini y = logb(x), vrijednost y je odgovor na pitanje "Na koji stepen mora biti b dignut, da bi se dobio x?". Ovo pitanje može također biti upućeno (sa bogatijim odgovorom) za kompleksne brojeve, što je pokazano u sekciji "Kompleksni logaritam".

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Naprimjer, log2(16) = 4, pošto je 24 = 2 ×2 × 2 × 2 = 16. Logaritmi također mogu biti negativni:

pošto je

Treći primjer: log10(150) je približno 2.176, što leži između 2 i 3, kao što 150 leži između 102 = 100 i 103 = 1000. Konačno, za bilo koju bazu b, logb(b) = 1 i logb(1) = 0, pošto važi b1 = b i b0 = 1, redom.

Logaritamski identiteti[uredi | uredi izvor]

Nekoliko važnih formula, ponekad zvanih logaritamski identiteti ili logaritamski zakoni, vežu logaritme međusobno.[2]

Proizvod, koeficijent, stepen i korijen[uredi | uredi izvor]

Logaritam proizvoda jeste suma logaritama brojeva koji se množe; logaritam odnosa dva broja jednaka je razlici logaritama. Logaritam od p-tog stepena broja je p puta logaritam samog broja; logaritam od p-tog korijena je logaritam broja podijeljen sa p. Slijedeća tabela pokazuje ove identitete sa primjerima. Svaki od ovih identiteta može biti izveden nakon smjene definicije logaritma ili na lijevoj strani.

Formula Primjer
proizvod
koeficijent
stepen
korijen

Izmjena baze[uredi | uredi izvor]

Logaritam logb(x) može biti izračunat iz logaritama od x i b uzimajući u obzir proizvoljnu bazu k preko sljedeće formule:

Obični naučni digitron računa logaritme sa bazama 10 i konstantom e.[3] Logaritmi s obzirom na bilo koju bazu b mogu se odrediti korištenjem bilo kojih od dva logaritama preko prethodne formule:

Neka je dat broj x i njegov logaritam logb(x) za nepoznatu bazu b, baza je data sa:

Određene baze[uredi | uredi izvor]

Među svim izborima za bazu, tri su posebno česta. To su b = 10, b = e (iracionalna matematička konstanta ≈ 2,71828), i b = 2. U matematičkoj analizi, logaritam za bazu e je raširen zbog svojih određenih analitičkih svojstava objašnjenih ispod. U drugu ruku, algoritmi s bazom 10 su jednostavni za koristiti za ručne proračune u decimalnom brojnom sistemu:[4]

Tako, log10(x) je vezan za broj decimalnih brojeva pozitivnog cijelog broja x: broj brojki je najmanji cijeli broj striktno veći od log10(x).[5] Naprimjer, log10(1430) je približno 3,15. Slijedeći cijeli broj je 4, što je broj brojki od 1430. I prirodni logaritam i logaritam za bazu 2 se koriste u informacionoj teoriji, što odgovara upotrebi natu ili bitovima kao osnovnim jedinicama informacije, respektivno.[6] Binarni logaritmi su također korišteni u računarstvu, gdje je binarni brojni sistem sveprisutan, u muzičkoj teoriji, gdje je omjer visine tona dva (oktava) sveprisutan i cent je binarni logaritam (umanjen za 1200) od odnosa između dva susjedna jednako smirena tona, te u fotografiji za mjerenje vrijednosti izlaganja.[7]

Slijedeća tabela pokazuje česte notacije za logaritme za ove baze i polja gdje se koriste. Dosta disciplina piše log(x) umjesto logb(x), kada se izabrana baza može odrediti iz konteksta. Notacija blog(x) također se pojavljuje.[8] Kolona "ISO notacija" pokazuje preporuke od ISO organizacije, (ISO 31-11).[9]

Baza b Ime za logb(x) ISO notacija Druge notacije Koristi se u
2 binarni logaritam lb(x)[10] ld(x), log(x), lg(x),[11] log2(x) računarstvo, informaciona teorija, muzička teorija, fotografija
e prirodni logaritam ln(x)[nb 2] log(x)
(u matematici [15] i više programskih jezika[nb 3])
matematika, fizika, hemija,
statistika, ekonomija, informaciona teorija, i neka polja inženjerstva
10 opći logaritam lg(x) log(x), log10(x)
(u inženjerstvu, biologiji, astronomiji)
različita inženjerska polja (pogledati decibel i ostalo ispod),
logaritamske tablice, ručni digitron, spektroskopija

Historija[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Hitorija logaritama

Historija logaritama u Evropi u 17. vijeku jeste otkriće nove funkcije koja je proširila stvarnost analize iza opsega algebarske metode. Metodu logaritama je javno objavio John Napier 1614. godine, u knjizi naslova Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudesnog pravila logaritama).[16][17] Prije Napierovog izuma, postojale su slične tehnike sličnog opsega, kao što su prostafereza ili korištenje tablica progresije, koje je ekstenzivno razvio Jost Bürgi oko 1600. godine.[18][19]

Opći logaritam broja je indeks onog stepena od deset koji je jednak tom broju.[20] Govoreći o broju koji zahtijeva mnogo cifara jeste grubi nagovještaj općeg logaritma, kojeg je spominjao Arhimed kao "red broja".[21] Prvi realni logaritmi bile su heurističke metode koje su pretvarale množenje u sabiranje, čime se olakšava brzo računanje. Neke od tih metoda koristile su tablice izvedene iz trigonometrijskih identiteta.[22] Takve metoda se naziva prostafereza.

Izum funkcije sada poznate kao prirodni logaritam počeo je kao pokušaj da se obavi kvadratura pravougaone hiperbole od Gregoire de Saint Vincenta, belgijskog Jezuita koji je boravio u Pragu. Arhimed je napisao Kvadraturu hiperbole u 3. vijeku p.n.e, ali kvadratura za hiperbolu izmicala je svima naporima dok Saint-Vincent nije objavio svoje rezultate 1647. godine. Veza koju pruža logaritam između geometrijske progresije u svom argumentu i aritmetičke progresije vrijednosti, podstakla je A. A. de Sarasa da napravi vezu između Saint-Vincentove kvadrature i tradicije logaritama u prostaferezi, što je dovelo do pojma "hiperbolni logaritam", sinomnim za prirodni logaritam. Uskoro je nova funkcija cijenjena od strane naučnik: Huygensa, Pataviija, i Jamesa Gregoryja. Notaciju Log y je uveo Leibniz 1675. godine,[23] a sljedeće godine on ju je povezao sa integralom

Logaritamke tablice, logaritamska skala i historijske primjene[uredi | uredi izvor]

Objašnjenje logaritma iz 1797. godine, Encyclopædia Britannica

Pojednostavljenjem teških proračuna, logaritmi su doprinijeli razvoju nauke, naročito astronomije. Bili su značajni za napredak u anketiranje, nebeskoj navigaciji i drugim domenama. Pierre-Simon Laplace nazivao je logaritme:

"...divljenja vrijedno lukavstvo koje, reduciranjem na nekoliko dana rad od nekoliko mjeseci, uduplava život astronoma, te ga pošteđuje grešaka i gađenja koje uzrokuje dugi proračun."[24]

Ključni alat koji je dopustio praktičnu upotrebu logaritama prije digitrona i računara bile su logaritamske tablice.[25] Prvu takvu tablicu kompajlirao je Henry Briggs 1617. godine, odmah nakon Napierovog izuma. Naknadno, napravljene su tablice sa povećanim opsegom. Ove tablice su listale vrijednosti od logb(x) i bx za svaki broj x u određenom opsegu, sa određenom preciznošću, za određenu bazu b (često b = 10). Naprimjer, Briggsova prva tabela sadržavala je opće logaritme svih cijelih brojeva u nizu 1–1000, sa preciznošću od 14 cifara. Kako je funkcija f(x) = bx inverzna funkcija od logb(x), bila je nazvana antilogaritam.[26] Proizvod i koeficijent od dva pozitivna broja c i d bili su rutinski računari kao suma i razlika njihovih logaritama. Proizvod cd ili koeficijent c/d dolazio je od uzimanja antilogaritma zbira ili razlike, također preko iste tabele:

i

Analitička svojstva[uredi | uredi izvor]

Dublji studiji logaritama zahtijevaju koncept funkcije. Funkcija je pravilo koje, kada mu se da broj, proizvodi neki drugi broj.[27] Primjer je funkcija koja proizvodi x-ti stepen od b za bilo koji realan broj x, gdje je baza b fiksni broj. Ova se funkcija piše kao

Logaritamska funkcija[uredi | uredi izvor]

Da bi se opravdala definicija logaritama, potrebno je pokazati da jednačina

ima rješenje x i da je rješenje jedinstveno, pod uvjetom da je y pozitivan i da je b pozitivan i različit od 1. Dokaz ovog slučaja zahtijeva teoremu o srednjoj vrijednosti iz elementarnog kalkulusa.[28] Ova teorema drži da neprekidna funkcija koja proizvodi dvije vrijednosti m i n također proizvodi bilo koju vrijednost koja leži između m i n. Funkcija je neprekidna ako ne "skače", tj. ako se njezin grafik može nacrtati bez podizanja olovke.

Ovo svojestvo može biti prikazano da važi za funkciju f(x) = bx. Pošto f uzima proizvoljno velike i proizvoljno male pozitivne vrijednosti, bilo koji broj y > 0 leži između f(x0) i f(x1) za odgovarajući x0 and x1. Stoga, teorema o srednjoj vrijednosti osigurava da jednačina f(x) = y ima rješenje. Štaviše, postoji samo jedno rješene za ovu jednačinu, jer je funkcija f strogo rastuća (za b > 1), ili strogo opadajuća (za 0 < b < 1).[29]

Jedinstveno rješenje x je logaritam od y za bazu b, logb(y). Funkcija koja dodjeljuje y svoj logaritam zove se logaritamska funkcija ili logaritmična funkcija (ili samo logaritam).

Funkcija logb(x) je u suštini okarakerisana formulom proizvoda iznad

Preciznije, logaritam za svaku bazu b > 1 je samo rastuća funkcija f od pozitivnih realnih brojeva do realnih brojeva koji zadovoljavaju f(b) = 1 i [30]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Bilješke[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Restrikcije na x i b su opisane u sekciji "Analitička svojstva".
  2. ^ Neki matematičari ne podržavaju ovu notaciju. U njegovoj autobiografiji iz 1985., Paul Halmos je kritizirao ono što je smatrao "dječija ln notacija", za koju je rekao da je nijedan matematičar nikad nije koristio.[12] Notaciju je uveo Irving Stringham, matematičar.[13][14]
  3. ^ Naprimjer C, Java, Haskell i BASIC.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009), Basics Of Mathematics, Pune: Technical Publications, ISBN 978-81-8431-755-8 , poglavlje 1
  2. ^ Svi iskazi u ovoj sekciji mogu biti pronađeni u Šablon:Harvard citations, Šablon:Harvard citations, ili Šablon:Harvard citations, naprimjer.
  3. ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , str. 21
  4. ^ Downing, Douglas (2003), Algebra the Easy Way, Barron's Educational Series, Hauppauge, N.Y.: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9 , chapter 17, str. 275
  5. ^ Wegener, Ingo (2005), Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0 , str. 20
  6. ^ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Information Theory, Cambridge University Press, str. 3, ISBN 9780521467605 
  7. ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), The Manual of Photography, Taylor & Francis, str. 228, ISBN 9780240520377 
  8. ^ Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (jezik: njemački), mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, pristupljeno 22. 3. 2011 
  9. ^ Taylor, B. N. (1995), Guide for the Use of the International System of Units (SI), US Department of Commerce 
  10. ^ Gullberg, Jan (1997), Mathematics: from the birth of numbers., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9 
  11. ^ Pogledati fusnotu 1 u Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (decembar 1977). "Understanding the complexity of interpolation search". Information Processing Letters 6 (6): 219–222. doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2. 
  12. ^ Paul Halmos (1985), I Want to Be a Mathematician: An Automathography, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4 
  13. ^ Irving Stringham (1893), Uniplanar algebra: being part I of a propædeutic to the higher mathematical analysis, The Berkeley Press, str. xiii 
  14. ^ Roy S. Freedman (2006), Introduction to Financial Technology, Amsterdam: Academic Press, str. 59, ISBN 978-0-12-370478-8 
  15. ^ vidjeti teoremu 3.29 u Rudin, Walter (1984). Principles of mathematical analysis (3rd ed., International student iz.). Auckland: McGraw-Hill International. ISBN 978-0070856134. 
  16. ^ Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (jezik: Latin), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart 
  17. ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press 
  18. ^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (otobar 2015), Jost Bürgi's Method for Calculating Sines, arXiv:1510.03180  Provjerite vrijednost datuma kod: |date= (pomoć)
  19. ^ MacTutor članak @ Jost Bürgi: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Burgi.html
  20. ^ William Gardner (1742) Tables of Logarithms
  21. ^ R.C. Pierce (1977) "A brief history of logarithm", Two-Year College Mathematics Journal 8(1):22–6.
  22. ^ Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics – Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, str. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2
  23. ^ Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.
  24. ^ Bryant, Walter W., A History of Astronomy, London: Methuen & Co , str. 44
  25. ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets, Oxford scholarship online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0 , sekcija 2
  26. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th iz.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 , sekcija 4.7., str. 89
  27. ^ Devlin, Keith (2004). Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics. Chapman & Hall/CRC mathematics (3rd iz.). Boca Raton, Fla: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-449-5. 
  28. ^ Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd iz.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913 , sekcija III.3
  29. ^ Šablon:Harvard citations
  30. ^ Dieudonné, Jean (1969). Foundations of Modern Analysis 1. Academic Press. str. 84.  item (4.3.1)

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]