Eksponencijalna funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao ex, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).

The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = ex je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cbx, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).

Eksponencijalna funkcija ex može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, ex je definisano kao rješenje y jednačine

x = \int_{1}^y {dt \over t}.

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

Neprekidni razlomci za ex[uredi | uredi izvor]

Preko Eulerovog identiteta:

\,
\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots=
1+\cfrac{x}{1-\cfrac{x}{x+2-\cfrac{2x}{x+3-\cfrac{3x}{x+4-\cfrac{4x}{x+5-\cfrac{5x}{\ddots}}}}}}

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

\,
\ e^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{9n+\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}}\,

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

\,
\ e^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{18+\cfrac{x^2}{\ddots}}}}}}\,

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni[uredi | uredi izvor]

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

\,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!}

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

{d \over dz} e^z = e^z

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

\,\!\, e^{z + w} = e^z e^w
\,\!\, e^0 = 1
\,\!\, e^z \ne 0
\,\!\, {d \over dz} e^z = e^z

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda 2 \pi i, jer vrijedi

\,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

i

\,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika ab, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definisati općenitije da je

\,\!\, z^w = e^{w \ln z}

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

\,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)

Izračunavanje ez za kompleksan z[uredi | uredi izvor]

Ovo slijedi direktno iz formule

\,e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y).

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: