Trigonometrijska funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Trigonometrijske funkcije)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Trigonometrija

Historija
Upotrebe
Funkcije
Inverzne funkcije
Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta
Tačne konstante
Trigonometrijske tablice
CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem
Kosinusni teorem
Tangensni teorem
Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral
Trigonometrijska substitucija
Integrali funkcija
Derivacije funkcija
Integrali inverznih funkcija

Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") je dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc). [1]

Odnosno:

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Trigonometrijska kružnica[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku , tj.

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla definišu se jednakostima

  1. sinus i kosinus su realni brojevi.
  2. tangens i kotangens
  3. sekans i kosenkans
  4. kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao može rasti do i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. To se vidi iz tabele [2]

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Svođenje na prvi kvadrant[uredi | uredi izvor]

Lako je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta: [3]

Funkcije kosinus i sinus imaju period , a tangens  :

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule [4]

Period funkcije je

, odnosno .

Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant, na način vidljiv u sljedećoj tabeli

T

U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način

f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju: [5]

Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija
30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

Redovi[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija. majući u vidu jednakosti

,

u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

Parnost[uredi | uredi izvor]

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

Granična vrijednost[uredi | uredi izvor]

З

Izvod[uredi | uredi izvor]

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

Dokaz
pa je
kada
Zbog биће
Izvod količnika
Izvod količnika

Integrali trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:

Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

uslov .

Inverzne trigonometrijske funkcije[uredi | uredi izvor]

Inverzne trigonometrijske funkcije su

arkus sinus
arkus kosinus
arkus tangens
arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

inus versus je trigonometrijska funkcija

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama , a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je , minimumi su u nulama, a maksimumi

Versine funkcije[uredi | uredi izvor]

Funkcija sinus versus ugla alfa je

.

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

Primjena u fizici[uredi | uredi izvor]

Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. Trigonometrija - osnovne formule
  2. Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
  3. trigonometrijske funkcije
  4. Trigonometric functions
  5. Tablica izvoda
  6. Versine
  7. Coversine