Trigonometrijska funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Trigonometrijske funkcije)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Trigonometrija (grč. trigonon [trougao] + metron [mjera] - "mjerenje trougla") je dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).

Odnosno:

 \sin \alpha = {\mbox{a} \over \mbox{c}}

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 \csc \alpha= {\mbox{c} \over \mbox{a}}

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

 \cos \alpha= {\mbox{b} \over \mbox{c}}

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 \sec \alpha = {\mbox{c} \over \mbox{b}}

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

 \tan \alpha = {\mbox{tg}  A} = {\mbox{a} \over \mbox{b}}

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

 \cot \alpha = {\mbox{ctg}  A} = {\mbox{b} \over \mbox{a}}

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

Trigonometrijska kružnica[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku  O(0,0) , tj.  x^2+y^2=1

Definicija 1

Trigonometrijske realne funkcije ugla  \varphi definišu se jednakostima

  1. \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\, sinus i kosinus su realni brojevi.
  2. \operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, tangens i kotangens
  3. \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, sekans i kosenkans
  4. \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao  \varphi može rasti do  360^o i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla  \varphi . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. To se vidi iz tabele

Trigonometrijske funkcije po kvadrantima
Kvadrant 1. (0°-90°) 2. (90°-180°) 3. (180°-270°) 4. (270°-360°)
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Svođenje na prvi kvadrant[uredi | uredi izvor]

Lako je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:

\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(\pi-\phi)=\sin\phi,
\cos(\pi+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(\pi+\phi)=-\sin\phi,
\cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.

Funkcije kosinus i sinus imaju period  2\pi , a tangens  \pi :

\cos(2\pi+\phi)=\cos\phi,\; \sin(2\pi+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(\pi+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule

T = \frac{2\pi}{\omega}

Period funkcije \sin{2\alpha} je

T= \frac{2\pi}{2}, odnosno \pi.

Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant, na način vidljiv u sljedećoj tabeli

\beta\, \frac{\pi}{2} + \alpha \pi + \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} + \alpha T\frac{\pi}{2} - \alpha \pi - \alpha\, \frac{3\,\pi}{2} - \alpha 2\,\pi - \alpha
\sin\beta\, \cos\alpha\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \cos\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\,
\cos\beta\, -\sin\alpha\, -\cos\alpha\, \sin\alpha\, \sin\alpha\, -\cos\alpha\, -\sin\alpha\, \cos\alpha\,
\operatorname{tg}\,\beta -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha
\operatorname{ctg}\,\beta -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha -\operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha -\operatorname{ctg}\,\alpha \operatorname{tg}\,\alpha \operatorname{ctg}\,\alpha


U opšte slučaju to se može zapisati na sljedeći način

 f (n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha)
 f (n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha)
 f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)
 f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)
f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju:

Najčešće vrijednosti trigonometrijskih funkcija
\phi\, 30° 45° 60° 90°
\sin\phi\, 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
\cos\phi\, 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
\operatorname{tg}\phi 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \pm\infty

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

\alpha\, \frac{\pi}{12} = 15^\circ \frac{\pi}{10} = 18^\circ \frac{\pi}{8} = 22.5^\circ \frac{\pi}{5} = 36^\circ \frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ \frac{3\,\pi}{8} = 67.5^\circ \frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ
\sin \alpha\, \frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}-1}{4} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}
\cos \alpha\, \frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}+1}{4} \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{5}-1}{4}
\operatorname{tg}\,\alpha 2-\sqrt{3} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}}
\operatorname{ctg}\,\alpha 2 + \sqrt{3} \sqrt{5+2\,\sqrt{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \sqrt{5-2\,\sqrt{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}

Redovi[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.

\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... = = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija. majući u vidu jednakosti

\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},
\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},
\sec x=\frac{1}{\cos x}
\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},

u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:

{\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}
{\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}
{\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{E_{n}}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}
{\csc x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}

Parnost[uredi | uredi izvor]

Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:

 \sin \left(- \alpha \right)  = - \sin \alpha \,,
 \cos \left(- \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
 \sec \left(- \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
 \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

Granična vrijednost[uredi | uredi izvor]

\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.
\lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. З
\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Izvod[uredi | uredi izvor]

Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

(\sin x)'=\cos x,\,
(\cos x)'=-\sin x,\,
(\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
(\operatorname{ctg}x)'=-\csc^2x.\,
Dokaz
\Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, pa je
\frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, kada \Delta x\rightarrow 0
Zbog \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), биће (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x.
Izvod količnika (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
=\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x.
Izvod količnika (\operatorname{ctg}x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=
=\frac{\cos'x\sin x-\sin'x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x.

Integrali trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:

\ \ \ \ f(x) \ \ \ \ f'(x) \int f(x)\,dx
\,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
\,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
\,\ \tan x \,\ \sec^2 x = 1+\tan^2 x -\ln \left |\cos x\right | + C
\,\ \cot x \,\ -\csc^2 x = -(1+\cot^2 x) \ln \left |\sin x\right | + C
\,\ \sec x \,\ \sec x\tan x \ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\,\ \csc x \,\ -\csc x \cot x \ -\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine:

\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),
uslov \cos(0) = \sin '(0) = 1.
\ \cos '' x = - \cos x,
\ \sin '' x = - \sin x.

Inverzne trigonometrijske funkcije[uredi | uredi izvor]

Inverzne trigonometrijske funkcije su

arcsin x arkus sinus
arccos x arkus kosinus
 arctg x arkus tangens
arcctg x arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.

 \begin{matrix}

 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{ako} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{ako} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2},
 & y = \arctan x & \mbox{ako} & x = \tan y \,;\\ \\
 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0,
 & y = \arccsc x & \mbox{ako} & x = \csc y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsec x & \mbox{ako} & x = \sec y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 < y < \pi,
 & y = \arccot x & \mbox{ako} & x = \cot y \,.

\end{matrix}

inus versus je trigonometrijska funkcija

y=\operatorname{versin}x=1-\cos x

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama \left(2k\pi,0\right), a na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je 2 \pi, minimumi su u nulama, a maksimumi ((2k+1)\pi,2)


Versine funkcije[uredi | uredi izvor]

Funkcija sinus versus ugla alfa je

 \textrm{versin} (\alpha)=1- cos\alpha.

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

\textrm{versin} (\theta) = 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos (\theta) \,
\textrm{vercosin} (\theta) = 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos (\theta) \,
\textrm{coversin}(\theta) = \textrm{versin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 - \sin(\theta) \,
\textrm{covercosin}(\theta) = \textrm{vercosin}\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) =  1 + \sin(\theta) \,
\textrm{haversin}(\theta) = \frac {\textrm{versin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \cos (\theta)}{2} \,
\textrm{havercosin}(\theta) = \frac {\textrm{vercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \cos (\theta)}{2} \,
\textrm{hacoversin}(\theta) = \frac {\textrm{coversin}(\theta)} {2} = \frac{1 - \sin (\theta)}{2} \,
\textrm{hacovercosin}(\theta) = \frac {\textrm{covercosin}(\theta)} {2} = \frac{1 + \sin (\theta)}{2} \,


\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{versin}(x) = \sin{x} \int\mathrm{versin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \sin{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{vercosin}(x) = -\sin{x} \int\mathrm{vercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \sin{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{coversin}(x) = -\cos{x} \int\mathrm{coversin}(x) \,\mathrm{d}x = x + \cos{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{covercosin}(x) = \cos{x} \int\mathrm{covercosin}(x) \,\mathrm{d}x = x - \cos{x} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{haversin}(x) = \frac{\sin{x}}{2} \int\mathrm{haversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \sin{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{havercosin}(x) = \frac{-\sin{x}}{2} \int\mathrm{havercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \sin{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacoversin}(x) = \frac{-\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacoversin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x + \cos{x}}{2} + C
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{hacovercosin}(x) = \frac{\cos{x}}{2} \int\mathrm{hacovercosin}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{x - \cos{x}}{2} + C

Primjena u fizici[uredi | uredi izvor]

Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]