Kosinusna teorema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
(Preusmjereno sa Kosinusni teorem)
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Preferences-system.svg Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija.
Pogledajte kako poboljšati članak, kliknite na link uredi i doradite članak vodeći računa o standardima Wikipedije.

Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:

gdje je α ugao nasuprot stranice a.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:

gdje je a strana nasuprot ugla A, strana b nasuprot ugla B, a strana C je nasuprot ugla C.

U ravni[uredi | uredi izvor]

Triangle with notations 2.svg

U svakom trouglu je gdje je ugao nasuprot stranice a

gdje je ugao nasuprot stranice b

gdje je ugao nasuprot stranice c

Dokaz

Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.

Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je

zamjenom

i

pravouglog trougla ACD dobijamo

i zamenom u prethodnu jednakost

Za tupougli trougao ABC, sa uglom u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA =

trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo

Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.

( skalarni proizvod.)

Na sličan način dobijamo oatale formule

Za ugao , imamo poseban slučaj kosinusne teoreme Pitagorina teorema.

Posljedice[uredi | uredi izvor]

Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je onda je i

Ako je onda је i

Аkо је ondа је i

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako је onda je prema tome je

Аko је onda je tј.

Ako је onda је tј.

U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.

јер је

Sabiranjem dobijamo

Korištenje teoreme[uredi | uredi izvor]

Teoremu koristimo za rješavanje trougla

  • ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice

  • Uglove trougla ako znamo sve tri stranice

  • Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih

Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema

Koristeći Pitagorin teorem[uredi | uredi izvor]

Obtuse Triangle With Altitude ZP.svg

Tupi ugao[uredi | uredi izvor]

Teoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu

[1]

Oštri ugao[uredi | uredi izvor]

Triangle with trigonometric proof of the law of cosines.svg





Koristeći Ptolomejevu teoremu[uredi | uredi izvor]

Ptolemy cos.svg


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.