Pitagorina teorema

Pitagorina teorema: Površina kvadrata nad hipotenuzom jednaka je zbiru površina kvadrata nad katetama.

U matematici, Pitagorina teorema je fundamentalna relacija u euklidskoj geometriji između triju stranica pravouglog trougla. On tvrdi da je površina kvadrata čija je stranica hipotenuza (stranica nasuprot pravom uglu) jednaka zbiru površina kvadrata na druge dvije stranice. Teorema se može napisati kao jednačina koja povezuje dužine stranica a, b i hipotenuze c, ponekad nazvana Pitagorina jednačina:

a² + b² = c².

Teorema je nazvan po grčkom filozofu Pitagori, rođenom oko 570. p. n. e. Teorema je dokazana mnogo puta različitim metodama - vjerovatno najviše od bilo koje matematičke teoreme. Dokazi su raznoliki, uključujući i geometrijske dokaze i algebarske dokaze, a neki datiraju hiljadama godina unazad. Kada se euklidski prostor predstavi kartezijanskim koordinatnim sistemom u analitičkoj geometriji, euklidska udaljenost zadovoljava pitagorinu relaciju: kvadrat udaljenosti između dvije tačke jednak je zbiru kvadrata razlike u svakoj koordinati između tačaka. Teorema se može generalizovati na različite načine: na prostore više dimenzija, na prostore koji nisu euklidski, na objekte koji nisu pravougli trouglovi i na objekte koji uopšte nisu trouglovi već n-dimenzionalna čvrsta tijela.

Pitagorina teorema glasi:

Ako je trougao pravougli, onda je zbir kvadrata nad katetama jednak kvadratu nad hipotenuzom.

Pravougli trougao je trougao s jednim pravim uglom (od 90 stepeni). Katete su dvije strane koje čine prav ugao, a hipotenuza je treća strana suprotna desnom uglu. Na slici ispod, a i b su katete pravouglog trougla, a c je hipotenuza:

Historija

Trigonometrija

Historija Upotrebe Funkcije Inverzne funkcije Dalje čitanje

Reference

Spisak identiteta Tačne konstante Trigonometrijske tablice CORDIC

Euklidova teorija

Sinusni teorem Kosinusni teorem Tangensni teorem Pitagorin teorem

Kalkulus

Trigonometrijski integral Trigonometrijska substitucija Integrali funkcija Derivacije funkcija Integrali inverznih funkcija

Teorema je nazvana po Pitagori, starogrčkom filozofu i matematičaru iz 6. vijeka p. n. e, iako je bila poznata indijskim, grčkim, kineskim i babilonskim matematičarima puno prije nego što je on živio. Prvi poznati dokaz Pitagorine teoreme može se naći u Euklidovim Elementima.

Ako se, na primjer, prilikom gradnje hramova ili piramida trebao konstruisati pravi ugao, onda je to učinjeno pomoću "egipatskog trougla" - trougla čije su stranice dužine 3, 4 i 5. Također, stari narodi su znali konstruisati pravougli trougao sa stranicama dužina 6, 8 i 10;  9, 12 i 15; 12, 16 i 20, odnosno 15, 36 i 39. Na ovaj način je uvedena veza između figure i broja, tj. između geometrije i algebre.

Dokazi

Ovo je teorema koja može imati više poznatih dokaza nego bilo koja druga (pravilo kvadratne recipročnosti također je poznato po mnogim dokazima); knjiga Pythagorean Proposition, koju je napisala Elisha Scott Loomis, sadrži 367 dokaza.

Neki argumenti zasnovani na trigonometrijskim identitetima (kao što je Taylorov red za sinus i kosinus) predloženi su kao dokaz za teoremu. Međutim, pošto su svi temeljni trigonometrijski identiteti dokazani preko Pitagorine teoreme, u obzir se ne mogu uzimati trigonometrijski dokazi.

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Dokaz uz korištenje sličnih trouglova

Kao i većina dokaza Pitagorine teoreme, ovaj je zasnovan na proporcionalnosti stranica dvaju sličnih trouglova.

Neka je ABC pravougli trougao, s pravim uglom u tački C, kao što je prikazano na slici. Visinu povlačimo iz tačke C, a tačku H nazivamo presjekom te visine sa stranicom AB. Novi trougao ACH sličan je našem početnom trouglu ABC jer oba imaju pravi ugao (po definiciji visine), te dijele ugao u tački A, što znači da će i treći ugao biti isti. Sličnim rezonovanjem, trougao CBH je, također, sličan s trouglom ABC. Sličnosti vode do dviju relacija: Kako je

$BC=a,AC=b,{\text{ i }}AB=c,\!$

tako je

${\frac {a}{c}}={\frac {HB}{a}}{\mbox{ i }}{\frac {b}{c}}={\frac {AH}{b}}.\,$

Ovo se može pisati kao

$a^{2}=c\times HB{\mbox{ i }}b^{2}=c\times AH.\,$

Sumiranjem ovih dviju jednakosti dobijamo

$a^{2}+b^{2}=c\times HB+c\times AH=c\times (HB+AH)=c^{2}.\,\!$

Drugim riječima, Pitagorina teorema:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!$

Primjena teoreme na kvadrat

Znamo da je kvadrat četverougao sa svim jednakim stranicama, uglovima i dijagonalama.

$d^{2}=2a^{2}\,\!$

$d=a{\sqrt {2}}$

Primjena teoreme na pravougaonik

Pravougaonik je paralelogram sa jednakim dijagonalama i pravim unutrašnjim uglovima. Kada se povuče jedna dijagonala, dobiju se dva pravougla trougla. Pitagorina teorema za trougao ABC:

$d^{2}=a^{2}+b^{2}$

$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Primjena teoreme na jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao je trougao sa jednakim stranicama i uglovima. Iz Pitagorine teoreme za trougao dobija se visina trougla

$a^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}+h^{2}$

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}=$

$P={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}{\sqrt {3}}}{3}}$

Primjena teoreme na jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao je trougao sa jednakim kracima. Kada se povuče visina iz tjemena C, dobiju se dva pravougla trougla.

$h_{a}={\sqrt {b^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}$

Primjena teoreme na romb

Romb je paralelogram sa svim jednakim stranicama. Dijagonale se sijeku pod uglom od :$90^{o}$ i međusobno se polove.

$h_{a}^{2}=({\frac {d_{1}}{2}})^{2}+({\frac {d_{2}}{2}})^{2}$

Također pogledajte

• Pitagora
• Kvadratni korijen iz 2

Reference

Izvori

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0.
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Prevod: Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) izd.). Dover. On-line text at archive.org
• Heath, Sir Thomas (1921). "The 'Theorem of Pythagoras'". A History of Greek Mathematics (2 Vols.). Clarendon Press, Oxford. str. 144 ff. Reprinted, Dover Publications, 1981, ISBN 0-486-24073-8.
• Libeskind, Shlomo (2008). Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-4366-6. This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
• Loomis, Elisha Scott (1940). The Pythagorean Proposition (2nd izd.). Ann Arbor, Michigan: Edwards Brothers. Reprinted, 1968, National Council of Teachers of Mathematics, ISBN 9780873530361.
• Maor, Eli (2007). The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12526-8.
• Neugebauer, Otto (1969). The exact sciences in antiquity (2nd izd.). Courier Dover Publications. ISBN 0-486-22332-9. OCLC 638685764.
• Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322". Historia Mathematica. 28 (3): 167–206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
• Robson, Eleanor (2008). Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press.
• Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline, ured. (2009). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Oxford: Oxford University Press. str. vii+918. ISBN 978-0-19-921312-2.
• Šablon:Cite arxiv
• Stillwell, John (1989). Mathematics and Its History. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0. Also ISBN 3-540-96981-0.
• Swetz, Frank; Kao, T. I. (1977). Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China. Pennsylvania State University Press. ISBN 0-271-01238-2.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer. ISBN 3-540-12159-5. Pythagorean triples Babylonian scribes van der Waerden.

Vanjski linkovi

• Nekoliko dokaza Pitagorine teoreme
• Dijkstra's generalization
• Babilonska ploča kao dokaz poznavanja teoreme