Sinus

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Sinus uglatrigonometrijska funkcija oblika

grafik sinusoide

y=a\sin(\omega x+\phi).\,.

Grafik ove funkcije zove se sinusoida. Periodična je sa periodom P=\frac{2\pi}{\omega};, a njen presjek sa х оsom je u tačkama x=\frac{k\pi-\phi}{\omega}; Ekstremne tačke \left( \frac{(k+\frac{1}{2})\pi-\phi}{\omega},(-1)^ka \right).

'Vrijednosti sinusa za neke uglove'
\phi\, 30° 45° 60° 90°
\sin\phi\, 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1

Osnovne osobine[uredi | uredi izvor]

sinus u pravouglom trouglu
Sinus je neparna funkcija
\sin(-\alpha)=-sin\alpha
Sinus je periodična funkcija
\sin(2 k\pi \pm\alpha)=sin\alpha
Nula funkcije
sin\alpha =0 = >\alpha =k \pi
Maksimum funkcije
sin\alpha =1 = >\alpha =2k\pi +  \frac{\pi}{2}
Minimum funkcije
sin\alpha = -1 = >\alpha =2k\pi -  \frac{\pi}{2}

Neki identiteti[uredi | uredi izvor]

 sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha
 sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha
 
:sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!
sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2 \tan \alpha} {1 + \tan^2 \alpha}
sin 3\alpha  =  3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha
sin \frac{\alpha}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha\mp \beta}{2} \right)


 \text{Ako su }w + x + y + z = \pi = \text{polukrug,} \,
\begin{align} \text{tada vrijedi }
&     \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}
\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} ( i^2=-1 )
\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
|\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}
Zlatni rez
\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

Derivacija[uredi | uredi izvor]

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,
Izvod
(sinx)' =\cos x

Integral

\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

Inverzna funkcija[uredi | uredi izvor]

arkussinus

Inverzna funkcija funkcije \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, je

\mathrm e^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm e^{-\mathrm{i}\theta} = (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)-(\cos \theta - \mathrm{i} \sin \theta) = 2 \mathrm{i} \cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = {\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \over 2\mathrm{i}}
\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\arcsin \alpha (Arkus sinus) je funkcija inverzna funkciji \sin \alpha na njenom intervalu [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog sinusa.

Formule[uredi | uredi izvor]

\arcsin{-x} = \frac{\pi}{2} - \arccos{x} (pravilo komplementarnih uglova)
\arcsin{-x} = -\arcsin{x} (neparnost funkcije)
\arcsin{\frac{1}{x}} = arccosec{x}
\arcsin x = 2 arctg \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
(arcsin)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| < 1
\arcsin x {}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1

\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. Sinus, mathworld.wolfram.com
  2. Trigonometrijske funkcije realnog broja