Sinus

Sinus ugla je trigonometrijska funkcija oblika:

grafik sinusoide

$y=a\sin(\omega x+\phi ).\,$.

Grafik ove funkcije zove se sinusoida. Periodična je sa periodom $P={\frac {2\pi }{\omega }};$, a njen presjek sa х оsom je u tačkama $x={\frac {k\pi -\phi }{\omega }};$ Ekstremne tačke $\left({\frac {(k+{\frac {1}{2}})\pi -\phi }{\omega }},(-1)^{k}a\right).$

'Vrijednosti sinusa za neke uglove'

$\phi \,$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin \phi \,$	0	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	1

Osnovne osobine

sinus u pravouglom trouglu

Sinus je neparna funkcija

$\sin(-\alpha )=-sin\alpha$

Sinus je periodična funkcija

$\sin(2k\pi \pm \alpha )=sin\alpha$

Nula funkcije

$sin\alpha =0=>\alpha =k\pi$

Maksimum funkcije

$sin\alpha =1=>\alpha =2k\pi +{\frac {\pi }{2}}$

Minimum funkcije

$sin\alpha =-1=>\alpha =2k\pi -{\frac {\pi }{2}}$

Neki identiteti

$sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})=\cos \alpha$

$sin(\alpha +\pi )=-\sin \alpha$

$:sin(\alpha +2\pi )=\sin \alpha$

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$

$sin2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1+\tan ^{2}\alpha }}$

$sin3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$

$sin{\frac {\alpha }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$

$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)$

${\text{Ako su }}w+x+y+z=\pi ={\text{polukrug,}}\,$

${\begin{aligned}{\text{tada vrijedi }}&\sin(w+x)\sin(x+y)\\&{}=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ ( $i^{2}=-1$)

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}$

Zlatni rez

$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }$

Derivacija

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,$

Izvod

$(sinx)'=\cos x$

Integral

$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C$

Inverzna funkcija

arkussinus

Inverzna funkcija funkcije $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$ je

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta }=(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta )-(\cos \theta -\mathrm {i} \sin \theta )=2\mathrm {i} \cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta ={\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta } \over 2\mathrm {i} }$

$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$

$\arcsin \alpha$ (Arkus sinus) je funkcija inverzna funkciji $\sin \alpha$ na njenom intervalu $[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$

Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog sinusa.

Formule

$\arcsin {-x}={\frac {\pi }{2}}-\arccos {x}$ (pravilo komplementarnih uglova)

$\arcsin {-x}=-\arcsin {x}$ (neparnost funkcije)

$\arcsin {\frac {1}{x}}=arccosec{x}$

$\arcsin x=2arctg{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$(arcsin)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}};\qquad |x|<1$

$\arcsin x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz,\qquad |x|\leq 1$

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

Također pogledajte

• Sinusoida
• Kosinus
• Tangens
• Kotangens

Vanjski linkovi

1. Sinus, mathworld.wolfram.com
2. Trigonometrijske funkcije realnog broja Arhivirano 28. 3. 2016. na Wayback Machine