Taylorov red

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.
Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih n+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).

U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku jeste definiran ovako:

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

gdje je gradijent, a Hesseova matrica.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)−1 je geometrijski red

tako da Taylorov red za x−1 u a = 1

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju u je

Gornji izraz važi zato što je derivacija od ex također ex, a e0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)n u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost[uredi | uredi izvor]

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve . U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, , konvergira prema 0.

Kada je sama potencijalni red oko tačke , onda je Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova
Kosinusna funkcija u kompleksnoj ravni.
Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u kompleksnoj ravni.
Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente .

Eksponencijalna funkcija:

Prirodni logaritam:

Konačan geometrijski red:

Beskonačan geometrijski red:

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

Kvadratni korijen:

Binemni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

sa općenitim binomnim koeficijentima

Trigonometrijske funkcije:

gdje je B Bernoullijev broj.

Hiperbolička funkcija:

Lambertova W funkcija:

Brojevi Bk, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. Ek u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]