Abelov test

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, Abelov test (poznat i pod nazivom Abelov kriterij) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju – jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Za dva data niza realnih brojeva, i , te ako niz zadovoljava uslove

  • konvergira
  • je monotona i

tada red

konvergira.

Abelov test u kompleksnoj analizi[uredi | uredi izvor]

Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije potencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specifično, Abelov test kaže da ako

a red

konvergira kada je |z| < 1, a divergira kada je |z| > 1, i koeficijenti {an} su pozitivni realni brojevi koji opadaju monotono prema nultoj granici za n > m (za dovoljno velike n, drugim riječima), tada potencijalni red za f(z) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je z = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je z = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije R ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ζ = z/R.[1]

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da je z tačka na jediničnom krugu, z ≠ 1. Tada je

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja p > q > m, možemo pisati

gdje su Sp i Sq parcijalne sume:

Ali sada, pošto su |z| = 1 i an monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada n > m, možemo pisati

Sada možemo primijeniti Cauchyjev test te zaključiti da potencijalni red za f(z) konvergira u odabranoj tački z ≠ 1, zato što je sin(½θ) ≠ 0 fiksna veličina, a aq+1 može biti manje od bilo koje date ε > 0 tako što se izabere dovoljno veliko q.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ (Moretti, 1964, p. 91)
  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]