Abelov test

U matematici, Abelov test (poznat i pod nazivom Abelov kriterij) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju – jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva

Za dva data niza realnih brojeva, $\{a_{n}\}$ i $\{b_{n}\}$, te ako niz zadovoljava uslove

• $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergira

• $\lbrace b_{n}\rbrace \,$ je monotona i $\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq \pm \infty$

tada red

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

konvergira.

Abelov test u kompleksnoj analizi

Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije potencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specifično, Abelov test kaže da ako

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,$

a red

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\,$

konvergira kada je |z| < 1, a divergira kada je |z| > 1, i koeficijenti {a_n} su pozitivni realni brojevi koji opadaju monotono prema nultoj granici za n > m (za dovoljno velike n, drugim riječima), tada potencijalni red za f(z) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je z = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je z = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije R ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli ζ = z/R.

Dokaz

Pretpostavimo da je z tačka na jediničnom krugu, z ≠ 1. Tada je

$z=e^{i\theta }\quad \Rightarrow \quad z^{\frac {1}{2}}-z^{-{\frac {1}{2}}}=2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\neq 0$

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja p > q > m, možemo pisati

${\begin{aligned}2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)&=\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right]-a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}+a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\,\end{aligned}}$

gdje su S_p i S_q parcijalne sume:

$S_{p}=\sum _{n=0}^{p}a_{n}z^{n}.\,$

Ali sada, pošto su |z| = 1 i a_n monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada n > m, možemo pisati

${\begin{aligned}\left|2i\sin {\textstyle {\frac {\theta }{2}}}\left(S_{p}-S_{q}\right)\right|&=\left|\sum _{n=q+1}^{p}a_{n}\left(z^{n+{\frac {1}{2}}}-z^{n-{\frac {1}{2}}}\right)\right|\\&\leq \left[\sum _{n=q+2}^{p}\left|\left(a_{n-1}-a_{n}\right)z^{n-{\frac {1}{2}}}\right|\right]+\left|a_{q+1}z^{q+{\frac {1}{2}}}\right|+\left|a_{p}z^{p+{\frac {1}{2}}}\right|\\&=\left[\sum _{n=q+2}^{p}\left(a_{n-1}-a_{n}\right)\right]+a_{q+1}+a_{p}\\&=a_{q+1}-a_{p}+a_{q+1}+a_{p}=2a_{q+1}.\,\end{aligned}}$

Sada možemo primijeniti Cauchyjev test te zaključiti da potencijalni red za f(z) konvergira u odabranoj tački z ≠ 1, zato što je sin(½θ) ≠ 0 fiksna veličina, a a_q+1 može biti manje od bilo koje date ε > 0 tako što se izabere dovoljno veliko q.

Reference

• Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964

Vanjski linkovi

• Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org Arhivirano 12. 3. 2007. na Wayback Machine