Jedinični krug

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Koordinate na jediničnom krugu

Jedinični krug je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama i i y-osu u tačkama i .

Ortogonalna projekcija tačke na x osu je , a na y- osu . Duži i su katete pravouglog trougla čije su dužine x i y.

je horizontalna a vertikalna dužina. Ugao je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu

Pošto je prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije[uredi | uredi izvor]

Trigonometrijske funkcije kod jediničnog kruga (Animacija)

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

Jednačina daje poznatu relaciju

  α sin α cos α tg α cotg α
1. kvadrant 0–90° + + + +
2. kvadrant 90–180° +
3. kvadrant 180–270° + +
4. kvadrant 270–360° +


Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od . Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

Rational parameterization of unit circle.svg

Druge tačke su određene koordinatama

Zamjenom dobijamo pitagorine trojke .

Kompleksna ravan[uredi | uredi izvor]

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Unit Circle

Jedinični krug