| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog
trougla, tj. ako vrijedi:
Ako su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da
je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka.
Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom
- U svakom Pitagorinom trouglu važi
- dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
- dužina bar jedne katete djeljiva je sa 4,
- dužina bar jedne stranice djeljiva je sa 5.
Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna.
Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.
Ako x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2
pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2
što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1
Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,
- Broj je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2
pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz
y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.
ili
ili
slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5.
Brojevi x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.
- z2 kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.
- Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.
Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)
- Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza
- Tražena Pitagorina trojka je (3k,4k,5k)
Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z) kojima je y paran, date su formulama:
- gdje je i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.
Neka je :. Brojevi i su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi a i b takvi da je
- i
Kako su i to su i relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi i takvi da je
i
pa je
Brojevi m i n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je neparan. Prema tome, brojevi m i n su različite parnosti.
Treba provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi i
imaju zajednički faktor d > 1 , d je neparan
- Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su m i n pa i m2 i n2 relativno prosti.
Sve Pitagorine trojke date su identitetom
Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su
(3,4,5) |
(12,16,20) |
(18,24,30) |
(24,32,40)
|
(6,8,10) |
(15,20,25) |
( 16,30,34) |
(9,40,41)
|
(5,12,13) |
(7,24,25) |
(21,28,35) |
(27,36,45)
|
(9,12,15) |
(10,24,26) |
(12,35,37) |
(30,40,50)
|
(8,15,17) |
(20,21,29) |
(15,36,39) |
(14,48,50)
|
Ima ih 20 ako trojke i smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih.
Broj primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom približno jednak