Pitagorine trojke

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Wikitext.svg Ovom članku ili dijelu članka nedostaju interni linkovi.
Nakon dodavanja internih linkova uklonite ovaj šablon.
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao. Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog trougla, tj. ako vrijedi: Ako su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka. Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom

U svakom Pitagorinom trouglu važi
dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
dužina bar jedne katete djeljiva je sa 4,
dužina bar jedne stranice djeljiva je sa 5.

Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna. Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.

Ako x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2 pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2

što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0 ili 1

Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,

Broj je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja. Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2

pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran. Sada je z neparan, pa iz

y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.


ili

ili

slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5.

Brojevi x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.

z2 kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.
Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.

Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)

Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza
Tražena Pitagorina trojka je (3k,4k,5k)

Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z) kojima je y paran, date su formulama:

gdje je i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.

Neka je :. Brojevi i su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi a i b takvi da je

i

Kako su i to su i relativno prosti. Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi i takvi da je i pa je

Brojevi m i n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je neparan. Prema tome, brojevi m i n su različite parnosti.


Treba provjeriti da su relativno prosti. Pretpostavimo da brojevi i

imaju zajednički faktor d > 1 , d je neparan

Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su m i n pa i m2 i n2 relativno prosti.

Sve Pitagorine trojke date su identitetom

Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su

(3,4,5) (12,16,20) (18,24,30) (24,32,40)
(6,8,10) (15,20,25) ( 16,30,34) (9,40,41)
(5,12,13 ((7,24,25) (21,28,35) (27,36,45)
(9,12,15) (10,24,26) (12,35,37) (30,40,50)
(8,15,17) (20,21,29) (15,36,39 (14,48,50)

Ima ih 20 ako trojke i smatramo jednakima. Među njima je 7 primitivnih.

Broj primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom približno jednak

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]