Diofantska jednačina

Diofantska jednačina je algebarska jednačina s dvije ili vise nepoznatih s cjelobrojnim koeficijentima u kojoj se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja. Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine

Linearne diofantske jednačine

Diofantska linearna jednačina je jednačina oblika:

$ax+by=c$

gdje su a, b i c neki cijeli brojevi.

Primjer

$x=-{\frac {5}{3}}y$

Kako je x cio broj to je y djeljivo sa 3

$y=3t$

odnosno

$x=-5t$

$(x,y)=(-5t,3t)$

Teorema

1. Diofantska jednačina $ax+by=c$ , gdje su $a$,$b$,$c$ cijeli brojevi $a^{2}+b^{2}\neq ,$ ima cjelobrojna rješenja ako i samo ako $M(a,b)$ dijeli $c$.
2. Ako su $x_{0}$ i $y_{0}$ rješenja te jednačine onda su sva rješenja oblika

$x=x_{0}+{\frac {b}{d}}t$

$y=y_{0}+{\frac {a}{d}}t$

Rješenje $(x_{0},y_{0})$ naziva se partikularno rjesenje diofantske jednacine. Op ste rjesenje je zbir partikularnog rjesenja i rjesenja homogene jednacine $ax+by=0$

Primjer

$3x+5y=8$

Partikularno rješenje je $(1,1)$, a rješenja pripadne homogene jednačine su $(-5t,3t)$, $t\in Z$

Rješenja jednačine su parovi $(1-5t,1+3t)$ za $t\in Z$

Za pronalaženje partikularnog rješenje diofantske jednačine korististimo Euklidov algoritam pomoću kojeg određujemo cijele brojeve $k$ i $l$ za koje vrijedi $ax+by=d$ gdje je $d=M(a,b)$, a zatim množenjem sa ${\frac {c}{d}}$ dobijamo partikularno rješenje.

Primjer

$1000x-123y=5$

$1000=8*123+16$

$123=7*16+11$

$16=1*11+5$

$11=2*5+1$

pa je

$16=1000-8*123$

1$1=123-7*16$

$5=16-1*11$

$1=11-2*5$

U posljednju jednakost uvrstimo izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti

$1=11-2*5=11-2*(16-11*1)=3*11-2*16$

$1=3*(123-16*7)-2*16=3*123-23*16$

$1=3*123-23*(1000-8*123)=-23*1000+187*123$

tj.

$1=-23*1000+187*123$ $/*5$

$5=-115*1000+935*123$

$x_{0}=-115$

$y_{0}=-935$

$x=123t$

$y=1000t$

Rješenje date jednadnacine je

$x=-115+123t$

$y=-935+1000t$ $t\in Z$

Primjer

Za prevoz neke robe raspolažemo vrećama od 40 kg i 60 kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se prevese 500 kg robe

Zadatak ćemo riješiti Eulerovom metodom

$40x+60y=500$

$2x+3y=25$ za $x\geq 0$ i $y\geq 0$

$x={\frac {25-3y}{2}}=12-y+{\frac {1-y}{2}}$

${\frac {1-y}{2}}=u$ $u\ Z$

$2u+y=1$

$y=1-2u$

$x=12-(1-2u)+u=11+3u$

Rješenja jednadčine su parovi $(x,y$) gdje je $x=11+3u$ i $y=1-2u$

$-{\frac {1}{3}}\leq u\leq {\frac {1}{2}}=>u=-3,-2,-1,0$

Traženi parovi $(x,y$) su $(2,7)$ $(5,5)$ $(8,3)$ i $(11,1)$

Nelinearne diofantske jednačine

Ne postoji univerzalna metoda rješavanja ovih jednačina ali zato postoji niz metoda kojima rješavamo neke specijalne tipove nelinearnih diofantskih jednačina. Neke od tih metoda su:

1. metoda faktorizacije
2. metoda razlomka
3. metoda posljednje cifre
4. metoda kongruencije
5. metoda zbira potencija s parnim eksponentima
6. metoda nejednakosti

Metoda faktorizacije

Metoda faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku proizvoda cjelobrojnih vrijednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatramo moguće slučajeve.

$xy+x-3y-3=0$

($x-3)(y+1)=3$

Ovo je moguće za

x-3	y+1
1	3
-1	-3
3	1
-3	-1

odnosno

x	y
4	2
2	-4
6	0
0	-2

Metoda razlomka

Osnovna ideja ove metode slična je kao kod metode faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku razlomka dvaju cjelobrojnih vrijednosti, dok s druge strane jednačine imamo također cjelobrojnu vrijednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora dijeliti brojnik, što nam daje klasifikaciju mogućih slučajeva. Spomenuti razlomak u praksi najčešće dobijemo tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.

$xy+2y=x$

$y(x+2)=x$

$y={\frac {x}{4x+2}}=1-{\frac {2}{x+2}}$

$x\ {\begin{Bmatrix}-1,-3,0,-4\end{Bmatrix}}$

$y\ {\begin{Bmatrix}-1,3,0,-2\end{Bmatrix}}$

Metoda posljednje cifre

Metoda posljednje cifre je podmetoda metode ostataka koja koristi ispitivanje ostataka pri dijeljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih dijelova jednačine, te njihovim usklađivanjem.

$x^{2}+5y=199519941993$

Kvadrat cijelog broja završava cifrom 0,1,4,5,6,ili 9, a broj $5y$ sa 0 ili 5, pa zbir na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rješenja.

Metoda kongruencije

$x^{2}-4y=1995$

$1995$ neparan a $4y$ paran pa je $x$ neparan

$x=2k-1$

$(2k-1)^{2}-4y=1995$

$4k^{2}-4k+1-4y=1995$

$4(k^{2}+k-y)=1994$

Jednačina nema rješenja jer 1995 nije djeljivo sa 4

Metoda zbira potencija s parnim eksponentima

Metoda zbira je slična metodi faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku zbira (najčešće nenegativnih) cijelih brojeva, te dalje diskutujemo slučajeve koji mogu nastupiti.

$x^{2}+y^{2}+2x-4y+8=0$

$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=13$

$(x+1)^{2}=9$

$(y-2)^{2}=4$

$(x,y)\in {\begin{Bmatrix}(1,5),(2,4)\end{Bmatrix}}$

Metoda nejednakosti

Ova metoda se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rješenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi. Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi. Metoda nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekom drugom metodom za rješavanje nelinearnih diofantskih jednačina

$3^{x}+4^{x}=5^{x}$

$x=2$

$3^{x}+4^{x}=5^{x}$ $/:5^{x}$

$({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}=1$

za $x<2$

$({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}>1$

za $x>2$

$({\frac {3}{5}})^{x}+({\frac {4}{5}})^{x}<1$

Jednačina ima samo jedno rjesenje $x=2$

Pellove i pellovske jednacine

Neka je zadana jednacina

$x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Uređenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednačinu nazivamo Pitagorina trojka

Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva $x$,$y$ neparan. Za $x$,$y$

parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci

Diofantska jednačina oblika

$x^{2}-dy^{2}=a$ gdje je $d\in N$ i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.

Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja u skupu prirodnih brojeva. Ako pronađemo najmanje (osnovno) rješenje $(x_{e},y_{e})$, preostala rješenja $(x_{n},y_{n})$ možemo generisati na sljedeći načine

1. :$x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}$ $=(x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}})^{n}$
2. :$x_{n+1}=2x_{n}x_{e}-x_{n-1}$ i $y_{n+1}=2x_{n}y_{e}-y_{n-1}$ za $(x_{0},y_{0})=(1,0)$ i $(x_{1},y_{1})=(x_{e},y_{e})$
3. :$x_{n+1}=x_{e}x_{n}+y_{e}dy_{n}$ i $y_{n+1}=x_{e}y_{n}+y_{e}dx_{n}$

Jednačina

$x^{2}-dy^{2}=1$ je Pellovska jednačina (jednačina Pellovog oblika)

Za razliku od Pellove jednačine ova jednačina nema uvijek cjelobrojno rješenje.

Erdős–Strausova hipoteza

Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve $n\geq 2$ postoji racionalni broj $4/n$ koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.\,$

Primjer

za $n=1801$, postoji rješenje jednacie gdje je $x=451$, $y=295364$ i $z=3249004$.

Pomnožimo li obe strane jednačine s $nxyz$, nalazimo Diofantsku jednačinu oblika:

$4xyz=n(xy+xz+yz).\,$

Reference

DIOFANTSKE JEDNADZBE/https: Arhivirano 11. 6. 2012. na Wayback Machine