Dijeljenje (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
20 \div 4=5

U matematici, posebno u elementarnoj aritmetici, dijeljenje je artimetička operacija koja je obrnuta množenje\množenju.

Posebno, ako je c puta b jednako a, a piše se:

c \times b = a\,

gdje b nije nula, tada je a podijeljeno sa b jednako c, a piše se:

\frac ab = c

Na primjer,

\frac 63 = 2

jer je

2 \times 3 = 6\,.

Dijeljenje se često prikazuje pomoću razlomka. Djeljenik i djelitelj se tada nazivaju brojnikom i nazivnikom. Npr. a podjeljeno s b se piše:

\frac ab

Dijeljenje se može prikazati i sa kosom crtom između djeljenika i djelitelja:

a/b\,

Najčešći način prikazivanja dijeljenja jedvotačkom između djeljenika i djelitelja:

a : b

Osobine[uredi | uredi izvor]

a:1=a

Djeljenje sa -1 daje suprotni broj

a: (-1)=-a

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.

0:a=0

Broj podijeljen samim sobom daje broj 1.

a:a=1

Proširivanje količnika

 a:b=c =>(a*d) : (b*d)=c

Skračivanje količnika

a:d=c => (a:b) : (d:b)=c za d \ne 0

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.

(-a):b=-(a:b)

Količnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.

(-a) : (-b)= |-a| : |-b|=a:b

Dijeljenje možemo prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

\frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

Kao i kod množenja važi zakon distribucije dijeljenja u odnosu na sabiranje

\frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

\frac{a}{b + c} = a \div (b + c) \ne \frac{a}{b} + \frac{a}{c}

Dvojni razlomak[uredi | uredi izvor]

Dvojni razlomak je razlomak oblika

{p/q \over r/s}

On se rješava na sljedeći način {p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.

Dijeljenje s nulom[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Dijeljenje s nulom

Dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom (gdje je nula djelioc) nije definisano.

Dijeljenje cijelih brojeva[uredi | uredi izvor]

Dijeljenje cijelih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti cijeli broj ako djeljenik nije višekratnik djelitelja.

Primjer

26 se ne može podijeliti sa 10 i dati cijeli broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:

  1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
  2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle \tfrac{26}{10} = 2,6 ili \tfrac{26}{10} = 2 \tfrac 35. Ovo je najčešći pristup u matematici.
  3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle \tfrac{26}{10} = 2 \mbox{ i ostatak } 6.
  4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle \tfrac{26}{10} = 2

Dijeljenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.

za p, q, r, s realne brojeve r , s razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}

za p, q, r, s realne brojeve r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

15,5:5=3,1

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

7,842:2,4=78,42:24=3,2675

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

423,10:10=42,310

51,24:100=0.5124

Tablica dijeljenja[uredi | uredi izvor]

Dijeljenje sa 1 Dijeljenje sa 2 Dijeljenje sa 3 Dijeljenje sa 4 Dijeljenje sa 5 Dijeljenje sa 6 Dijeljenje sa 7
1:1=1 2:2=1 3:3=1 4:4=1 5:5=1 6:6=1 7 : 7 = 1
2:1=2 4:2=2 6:3=2 8:4=2 10:5=2 12:6=2 14 : 7 = 2
3 : 1 = 3 6:2=3 9:3=3 12:4=3 15:5=3 18:6=3 21 : 7 = 3
4 : 1 = 4 8:2=4 12:3=4 16:4=4 20:5=4 24:6=4 28 : 7 = 4
5 : 1 = 5 10:2=5 15:3=5 20:4=5 25:5=5 30:6=5 35 : 7 = 5
6 : 1 = 6 12:2=6 18:3=6 24:4=6 30:5=6 36:6=6 42 : 7 = 6
7 : 1 = 7 14:2=7 21:3=7 28:4=7 35:5=7 42:6=7 49 : 7 = 7
8 : 1 = 8 16:2=8 24:3=8 32:4=8 40:5=8 48:6=8 56 : 7 = 8
9: 1 = 9 18:2=9 27:3=9 36:4=9 45:5=9 54:6=9 63 : 7 = 9
10:1=10 20:2=10 30:3=10 40:4=10 50:5=10 60:6=10 70 : 7 = 10
Dijeljenje sa 8 Dijeljenje sa 9 Dijeljenje sa 10
8:8=1 9:9=1 10 : 10 = 1
16:8=2 18:9=2 20 : 10 = 2
24:8=3 27:9=3 30 : 10 = 3
32:8=4 36:9=4 40 : 10 = 4
40:8=5 45:9=5 50 : 10 = 5
48:8=6 54:9=6 60 : 10 = 6
56:8=7 63:9=7 70 : 10 = 7
64:8=8 72:9=8 80 : 10 = 8
72:8=9 81:9=9 90 : 10 = 9
80:8=10 90:9=10 100 : 10 = 10

Pravila dijeljenja[uredi | uredi izvor]

Pravila dijeljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan cijeli broj može podijeliti u drugi cijeli broj.

Djeljivost sa brojem 2

Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova poslednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

24/2 =12

Djeljivost sa brojem 3

Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.


27/3 =9 .......... 2+7=9 (9/3=3)

Djeljivost sa brojem 4

Broj je djeljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4

324/4=81 jer je 24/4=6

Djeljivost sa brojem 5

Broj je djeljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

25/5=5

40/5=8

Djeljivost sa brojem 6

Broj je djeljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

36/6=6 jer je 36/2=18 i 36/3=12

Djeljivost sa brojem 8

Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji cine 3 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 8

3120/8=390 jer je 120/8=15

Djeljivost sa brojem 9

Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara djeljiv sa 9.

2817/9=313 jer je 2+8+1+7=18  => 18/9=2

Djeljivost sa brojem 10

Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5 odnosno zavešava cifrom 0

30/10=3 jer je 30/2=10 30/5=6

Dijeljenje i kalkulus[uredi | uredi izvor]

Derivacija količnika dvije funkcije data je pravilom derivacije količnika:

{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.

Ne postoji općenita metoda integracije količnika dvije funkcije.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvor[uredi | uredi izvor]

DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA

Tablica deljenja