Polje (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za druga značenja pojma Polje pogledajte Polje (čvor).

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se historijski prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je \mathbb{Q}, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva \mathbb{R}, polje kompleksnih brojeva \mathbb{C} i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije[uredi | uredi izvor]

Definicija 1[uredi | uredi izvor]

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2[uredi | uredi izvor]

Polje je komutativni prsten (\mathbb{F}, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od \mathbb{F} osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primjetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3[uredi | uredi izvor]

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od \mathbb{F} za + i * 
\forall a, b \in \mathbb{F}, a + b \in \mathbb{F} i a * b \in \mathbb{F} (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).
+ i * su asocijativne operacije 
\forall a, b, c \in \mathbb{F}, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
+ i * su komutativne operacije 
\forall a, b \in \mathbb{F}, a + b = b + a i a * b = b * a.
Vrijedi distributivnost operacije * prema + 
\forall a, b, c \in \mathbb{F}, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
Postojanje neutralnog elementa za sabiranje 
\exists 0 \in \mathbb{F} takav da je \forall a \in \mathbb{F}, a + 0 = 0 + a = a.
Postojanje neutralnog elementa za množenje 
\exists 1 \in \mathbb{F} takav da je \forall a \in \mathbb{F}, a * 1 = 1 * a = a.
Postojanje inverza za sabiranje 
\forall a \in \mathbb{F}\exists -a \in \mathbb{F}, takav da je a + (-a) = -a + a = 0.
Postojanje inverza za množenje 
\forall a \in \mathbb{F}, a \neq 0, \exists a^{-1} \in \mathbb{F}, takav da je a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1.

Uslov da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (\mathbb{F}, +) i
(\mathbb{F}\setminus \{0\}, *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a−1 jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]