0 (broj)

Nula (0) je cijeli broj[1] koji nije ni pozitivan ni negativan. On predstavlja praznu količinu. Njegova apsolutna vrijednost je 0. Nula je paran broj.[2] Dodavanje (ili oduzimanje) 0 bilo kojem broju ostavlja taj broj nepromijenjenim; u matematičkoj terminologiji, 0 je aditivni identitet cijelih brojeva, racionalnih brojeva, realnih i kompleksnih brojeva, kao i drugih algebarskih struktura. Množenjem bilo kojeg broja sa 0 dobija se 0, pa dijeljenje nulom nema nikakvog značenja u aritmetici.
Kao brojčani znak, 0 igra ključnu ulogu u decimalnim zapisima: označava da stepen desetice koji odgovara mjestu koje sadrži 0 ne doprinosi ukupnom iznosu. Na primjer, "205" u decimalnom obliku znači dvije stotine, bez desetica i pet jedinica. Isti princip se primjenjuje u notacijama vrijednosti mjesta koje koriste bazu koja nije deset, kao što su binarni i heksadecimalni. Moderna upotreba 0 na ovaj način proizlazi iz indijske matematike koja je prenijeta u Evropu preko srednjovjekovnih islamskih matematičara i popularizirana od strane Fibonaccija. Najranija upotreba koncepta nule pripisuje se civilizacijama Maja, Babilona i Indije (natpis simbola nule iz 9. vijeka na zidu hrama u Gwalioru, država Madhya Pradesh).[3]
Matematika
[uredi | uredi izvor]Koncept nule igra višestruke uloge u matematici: kao cifra, važan je dio pozicijske notacije za predstavljanje brojeva, dok također igra važnu ulogu kao sam broj u mnogim algebarskim postavkama.
Kao cifra
[uredi | uredi izvor]U pozicionim brojevnim sistemima (kao što je uobičajena decimalna notacija za predstavljanje brojeva), cifra 0 igra ulogu čuvara mjesta, što ukazuje da određene moći baze ne doprinose. Na primjer, decimalni broj 205 je zbir dvije stotine i pet jedinica, pri čemu cifra 0 označava da se ne dodaju desetice. Cifra igra istu ulogu u decimalnim razlomcima i u decimalnom predstavljanju drugih realnih brojeva (označavajući da li su prisutne desetine, stotine, hiljade, itd.) i u bazama koje nisu 10 (na primjer, u binarnom, gdje označava koji stepen 2 su izostavljeni).[4]
Osnovna algebra
[uredi | uredi izvor]Broj 0 je najmanji nenegativni cijeli broj, a najveći nepozitivni cijeli broj. Prirodni broj nakon 0 je 1 i nijedan prirodan broj ne prethodi 0. Broj 0 se može, ali i ne mora smatrati prirodnim brojem,[5][6] ali je cijeli broj, pa stoga racionalan i realan broj.[7] Svi racionalni brojevi su algebarski brojevi, uključujući 0. Kada se realni brojevi prošire da formiraju kompleksne brojeve, 0 postaje ishodište kompleksne ravni.
Broj 0 se ne može smatrati ni pozitivnim ni negativnim[8] ili, alternativno, i pozitivnim i negativnim[9] i obično se prikazuje kao središnji broj u brojevnoj liniji. Nula je parna[10] (tj. višekratnik od 2), a također je celobrojni višekratnik bilo kojeg drugog cijelog, racionalnog ili realnog broja. Ona nije ni prosti niti složen broj: nije prost jer su prosti brojevi po definiciji veći od 1, a nije složen jer se ne može izraziti kao proizvod dva manja prirodna broja.[11] (Međutim, singleton skup {0} je primarni ideal u prstenu cijelih brojeva.)
Slijede neka osnovna pravila za rad sa brojem 0. Ova pravila važe za svaki realan ili kompleksan broj x, osim ako nije drugačije navedeno.
- Sabiranje: dodavanje nule bilo kojem broju ne povećava vrijednost tom broju.[12]
- Oduzimanje: oduzimanje nule od bilo kojeg broja ne smanjuje vrijednost tog broja.
- oduzimanjem nekog broja od nule mijenja se predznak tog broja
- Množenje: množenje bilo kojeg broja s nulom daje umnožak nula.
- Dijeljenje: dijeljenje bilo kojeg broja s nulom nema rješenje te se kaže da je nedefinirano.
- Dijeljenje nule nekim brojem različitim od nule daje nulu
- Dijeljenje nule nulom je nedefinisano
- Potenciranje: potenciranje bilo kojeg broja (različitog od nule) nulom daje rezultat 1.
- potenciranje nule bilo kojim brojem različitim od nule daje nulu.
- potenciranje nule nulom daje broj 1
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ Matson, John. "The Origin of Zero". Scientific American (jezik: engleski). Pristupljeno 15. 4. 2020.
- ^ "Nula – Opšte obrazovanje" (jezik: engleski). Pristupljeno 15. 4. 2020.
- ^ "Earliest recorded use of zero is centuries older than first thought". ox.ac.uk. Pristupljeno 22. 2. 2025.
- ^ Reimer 2014, str. 156, 199–204.
- ^ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. str. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5. Arhivirano s originala, 23. 6. 2016. Pristupljeno 5. 1. 2016., Extract of pp. 254–255 Arhivirano 10. 5. 2016. na Wayback Machine
- ^ Cheng 2017, str. 32.
- ^ Cheng 2017, str. 41, 48–53.
- ^ Weisstein, Eric W. "Zero". Wolfram (jezik: engleski). Arhivirano s originala, 1. 6. 2013. Pristupljeno 4. 4. 2018.
- ^ Weil, André (6. 12. 2012). Number Theory for Beginners (jezik: engleski). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8. Arhivirano s originala, 14. 6. 2021. Pristupljeno 6. 4. 2021.
- ^ Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Penner, Robert C. (1999). Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. str. 34. ISBN 978-981-02-4088-2.
- ^ Reid, Constance (1992). From zero to infinity: what makes numbers interesting (4th izd.). Mathematical Association of America. str. 23. ISBN 978-0-88385-505-8.
zero neither prime nor composite
- ^ "0 (nula)". Matematika Wiki. Pristupljeno 19. 4. 2020.
Dodatna literatura
[uredi | uredi izvor]- Aczel, Amir D. (2015). Finding Zero. New York: Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-137-27984-2.
- Asimov, Isaac (1978). "Nothing Counts". Asimov on Numbers. New York: Pocket Books. ISBN 978-0-671-82134-0. OCLC 1105483009.
- Barrow, John D. (2001). The Book of Nothing. Vintage. ISBN 0-09-928845-1.
- Cheng, Eugenia (2017). Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics. Basic Books. ISBN 978-1-5416-4413-7.
- Kardar, Mehran (2007). Statistical Physics of Particles. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87342-0.
- Reimer, David (2014). Count Like an Egyptian. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16012-2.
- Woodford, Chris (2006). Digital Technology. Evans Brothers. ISBN 978-0-237-52725-9. Arhivirano s originala, 17. 8. 2019. Pristupljeno 24. 3. 2016.
- Hill, Christian (2020). Learning Scientific Programming with Python (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-10707541-2.
Historical studies
[uredi | uredi izvor]- Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8.
- Diehl, Richard A. (2004). The Olmecs: America's First Civilization. London, England: Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-28503-9.
- Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-39340-1.
- Kaplan, Robert (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press. ISBN 978-0-198-02945-8.
- Seife, Charles (2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin USA. ISBN 0-14-029647-6.
Vanjski linkovi
[uredi | uredi izvor]- Historija nule
- Zero Saga
- Historija algebre
- Edsger W. Dijkstra: Why numbering should start at zero, EWD831 (PDF rukopisa)
- "My Hero Zero" Obrazovna dječija pjesma u Schoolhouse Rock!