Prost broj

Prost broj je prirodni broj veći od 1 koji je dijeljiv jedino sa 1 i samim sobom.

Primjeri prostih brojeva su: 2, 3, 5, 7....

Broj $a\,$ ne možemo rastaviti na proste faktore ako je: $a=k\cdot l\Rightarrow a=k\lor a=l$ .

Broj $a\,$ je prost ako je $a\,$ dijeli $p\cdot q\Rightarrow a\,$ dijeli $p\,$ ili $a\,$ dijeli $q\,$ .

Lahko se može dokazati da ako je broj prost onda је i nerastavljiv i obrnuto. Složen broj je broj koji je djeljiv samim sobom, sa 1, te još nekim brojem.

Svaki složeni broj može se na jedinstven način rastaviti na proste faktore:

  125|5      34|2
   25|5      17|17
    5|5       1 
    1
  
  125=5*5*5   34=2*17

Definicija

Prirodni broj se zove prost broj (ili premijer) ako ima tačno dva pozitivna djelitelja, $1$ i sam taj broj. Prirodni brojevi veći od 1 koji nisu prosti nazivaju se složeni

Primjer

Broj 12 nije prost, jer 12 možemo podijeliti u 3 kolone po 4 elementa

11 možemo smjestiti samo u jednu ili 11 kolona po 11 odnosno 1 elemenat, tj 11 je prost broj.

Među brojevima od 1 do 6, broj 2, 3 i 5 su prosti brojevi, a 1, 4, i 6 nisu prosti.

$3=2\times 1+1$
$5=2\times 2+1$
$4=2\times 2$
$6=3\times 2$

Iz navedenog se vidi da su prirodni brojevi podijeljeni u tri klase.

Broj 1
Prosti brojevi
Složeni brojevi

U skupu prirodnih brojeva broj $1$ ima poseban položaj, zato je izdvojen u posebnu klasu. Djeljivost u skupu $\mathbb {N}$ može se proširiti na skup $\mathbb {N} _{0}$ i reći da je $0$ djeljiva sa svakim prirodnim brojem, jer je $0=a\times 0$ . Broj $0$ nije ni prost ni složen broj.

Ovo možemo reći na još jedan način

Broj $n>1$ je prost, ako ga možemo napisati kao proizvod dva prirodna broja $a$ i $b$ , koji su veći od $1$

$n=a\times b$

Svi prosti brojevi manji od 1000 su:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997 ^[1]

Osnovna teorema aritmetike

Svaki prirodni broj $n$ ( $n>1$ ) postoji jedinstven rastav na proste faktore $n={p_{1}}^{a_{1}}\times {p_{2}}^{a_{2}}\times ...\times {p_{k}}^{a_{k}}$

Gdje su $p_{1}<p_{2}<...<p_{k}$ te su svi $p_{i}$ prosti brojevi.

Primjer

$23244=2\times 2\times 3\times 13\times 149=2^{2}\times 3\times 13\times 149$

$1200=2^{4}\times 3^{1}\times 5^{2}=3\times 2\times 2\times 2\times 2\times 5\times 5=5\times 2\times 3\times 2\times 5\times 2\times 2$

Rastavljanje složenih brojeva na proste faktore

Rastavljanje se može postići dijeljenjem s prostim brojevima, međutim, ako znamo neka jednostavna pravila, to rastavljanje postaje vrlo jednostavno.

Ako je broj paran (posljednja cifra mu je 2, 4, 6, 8 ili 0), onda je djeljiv s dva.
Ako broj završava ciframa 5 ili 0, onda je djeljiv s pet.
Ako mu je zbir cifara djeljiv s tri, onda je taj broj djeljiv s tri.
Ako je zbir cifara djeljiv s devet, onda je broj djeljiv s devet.
Ako su mu posljednje dvije cifre djeljive sa četiri, onda je broj djeljiv sa četiri.
Ako su mu posljednje dvije cifre djeljive s 25, onda je broj djeljiv s pet.

^[2]

Eratostenovo sito

Ovo je mehanički postupak pronalaženja prostih brojeva koji nisu veći od n . Ispišemo sve brojeve od 2 do n. Pođemo od broja 2 i precrtavamo svaki drugi broj, zatim pođemo od broja 3 i precrtavamo svaki treći s time da brojimo i precrtane brojeve, pa od prvog neprecrtanog broja itd. Ovaj postupak ponavljamo dok ne dođemo do broja p za koji je p^2 > n. Neprecrtani brojevi su prosti. Primjer za $n=20$ :

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Kriptografija

Važna primjena prostih brojeva je u oblasti kriptografije. Algoritmi za šifriranje poruke žive od toga sto ne postoji efikasan algoritam za rastavljanje broja na proste faktore. Tako se lahko mogu pomnožiti dva dovoljno velika prosta broja, međutim, obrnuti proces, tj. naći njegove proste faktore traje dosta duže. Poznata šifra koja na tome bazira je RSA ^[3]

Brojnost prostih brojeva

Prostih brojeva ima beskonačno mnogo. Ovo je prvi dokazao Euklid u svojim Elementima, knjiga X, Teorema 20. Njegov dokaz je sljedeći:

Pretpostavimo da je broj prostih brojeva konačan. Pomnožimo ih sve i dodajmo 1. Dobićemo broj koji podijeljen sa bilo kojim prostim brojem daje ostatak 1. Dobili smo broj koji nema djelitelja među postojećim brojevima. To jeste prost broj veći od prethodnih.

Matematičari su otkrili još osobina koje su vezane za brojnost prostih brojeva. Ojler je otkrio da red recipročnih prostih brojeva divergira. Čak je nađena asimptotska formula za zbir prostih brojeva manjih od nekog datog

\lim _{x\to \infty }\sum _{p<x}{\frac {1}{p}}\ \sim \ \ln \ln x

Postoji funkcija $\pi (x)\,$ koja ima vrijednost jednaku broju prostih brojeva u intervalu $(1,x]\,$ . Ona daje odgovor na pitanje kolikoima prostih brojeva manjih od datog broja. Primjer: $\pi (100000)=9592\,$ . Za veće brojeve funkcija glasi:

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x-1}}

.

Vrijednost funkcije $\pi (x)$

manjih od x	$\pi (x)$
10	4
100	25
1.000	168
10.000	1.229
100.000	9.592
1.000.000	78.498
10.000.000	664.579
100.000.000	5.761.455
1.000.000.000	50.847.534
10.000.000.000	455.052.511
100.000.000.000	4.118.054.813
1.000.000.000.000	37.607.912.018
10.000.000.000.000	346.065.536.839
100.000.000.000.000	3.204.941.750.802
1.000.000.000.000.000	29.844.570.422.669
10.000.000.000.000.000	279.238.341.033.925
100.000.000.000.000.000	2.623.557.157.654.233
1.000.000.000.000.000.000	24.739.954.287.740.860
10.000.000.000.000.000.000	234.057.667.276.344.607
100.000.000.000.000.000.000	2.220.819.602.560.918.840
1.000.000.000.000.000.000.000	21.127.269.486.018.731.928
10.000.000.000.000.000.000.000	201.467.286.689.315.906.290

Gustoća raspodjele prostih brojeva

Posmatrajmo omjer gustoće prostih brojeva manjih od nekog broja n i recipročne vrijednosti prirodnog logaritma tog broja. Gustoća prostih brojeva u skupu $\mathbb {N}$ opada kao i recipročna vrijednost prirodnog logaritma broja n, za velike vrijednosti n ( $k/m\to 1$ ).

n	$k=\pi (n)/n$	$m=1/ln(n)$	$k/m$
$10^{3}$	0,168	0,1448	1,16022
$10^{6}$	0,078498	0,0723824	1,08449
$10^{9}$	0,050847534	0,048254942	1,05372
$10^{12}$	0,037607912018	0,03619120682	1,03914
$10^{24}$	0,018435599767349	0,018095603412635	1,018788

Dirichletov teorem

Neka su d i a prirodni brojevi takvi da je njihova mjera $(d,a)=1$ , tj. oni su relativno prosti, tada postoji beskonačno mnogo prim brojeva oblika $dn+a$ , $n\in N_{0}$ , tj. postoji beskonačno mnogo prim brojeva u aritmetičkom nizu $a,\ d+a,\ 2d+a,\ 3d+\ a...$

Prosti brojevi 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … u aritmetičkim nizu

$1+2n$

Prosti brojevi 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … u aritmetičkim nizu

1+4n

Prosti brojevi 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … u aritmetičkim nizu

3+4n

Euklidov teorem

Skup svih prostih brojeva je beskonačan.

Dokaz za neke opšte aritmetičke nizove. Svaki prost broj veći od 2 je neparan, te je oblika $4n+3$ ili $4n+1$ . Proizvod dva broja oblika $4n+1$ također je tog oblika:

$(4a+1)(4b+1)=16ab+4a+4b+1=4(4ab+a+b)+1$

Pretpostavimo da postoji konačno mnogo prostih brojeva

$p_{1},p_{2},...,p_{n}$ koji su oblika $4n+3$ .

$N=4\times p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{n}-1=4\times (p_{1}\times p_{2}\times ...\times p_{n}-1)+3$

N je prost broj, ili se može rastaviti na proizvod prostih brojeva, od kojih nijedan nije $p_{1},p_{2},...,p_{n}$ jer ostatak dijeljenja broja N sa nekim od brojeva p je -1. Svi prosti faktori broja N ne mogu biti oblika $4n+1$ , jer N nije tog oblika. Kao što smo vidjeli, proizvod brojeva oblika $4n+1$ je također je broj tog oblika.

Prema tome, bar jedan prost faktor mora biti oblika $4n+3$ , što je nemoguće, jer taj faktor nije nijedan od brojeva p, za koje smo pretpostavili da su svi prosti brojevi oblika $4n+3$ .

Dakle, broj prostih brojeva takvog oblika je beskonačan.

Posljedica Dirichletove teoreme je

Red recipročnih prostih brojeva oblika $4n+3$

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+...$ divergira

Najveći poznati prost broj

Trenutno najveći poznati prost broj je 2^30.402.457 − 1 (ovaj broj ima 9.152.052 cifara). Izračunali su ga 15. decembra 2005. godine dva profesora sa Misuri državnog univerziteta. Označava se sa М_30402457 i predstavlja 43. Mersenov prost broj.

Prethodni najveći poznati prost broj je bio M_25964951 = 2^25.964.951 − 1 (42. poznati Mersenov prost broj, 7.816.230 cifara) a pre njega M_24036583 = 2^24.036.583 − 1 (41. poznati Mersenov prost broj, 7.235.733 cifara)

Postoji dobar praktičan razlog zašto su svi veliki prosti brojevi oblika Mersenovih prostih brojeva. To je relativno jednostavan metod za provjeru složenosti broja (Lukas-Lemer test). Za ostale brojeve je metoda vremenski zahtjevna.

Najveći prost broj koji nije ovog oblika je 27.653 × 2^9.167.433 + 1 (2.759.677 cifara) i šesti je po veličini na listi najvećih poznatih prostih brojeva.

Za nalaženje prostog broja sa 10⁷ decimalnih cifara postoji nagrada od 100.000 dolara.

Ulamova spirala

Ulamova spirala je jednostavan način vizualizacije prostih brojeva. Potrebno je napisati brojeve od 1 pa nadalje u obliku pravougle spirale, te nakon toga pobrisati sve brojeve osim prostih, na taj način se dobiju zanimljivi oblici. Otkrio ju je Stanislaw Ulam 1963. godine dok se dosađivao na sastanku crtkarajući po papiru, primijetivši da se prosti brojevi nalaze na dijagonalama. Ubrzo nakon toga je sa saradnicima Myronom Steinom i Mark Wellsom koristeći MANIAC II (Mathematical Analyzer Numerical Integrator and Computer Model II) u istraživačkom laboratoriju u Los Alamosu, generirao sliku spirale koja je obuhvatala brojeve do 65 000.

Teoreme i slutnje

U potrazi za nekim zakonima i pravilnostima među prostim brojevima proizašle su mnoge teoreme i hipoteze. Neke od njih su :

Goldbachova hipoteza

Polovinom XVIII vijeka njemački matematičar Christian Goldbach je napisao pismo Leonhardu Euleru u koje je izrekao sljedeću hipotezu:

Svaki prirodni broj koji se može predstaviti kao zgir 2 prosta broja, također se može predstaviti kao zbir sve više i više prostih brojeva dok svi ne budu jedinice.

Nakon toga je na margini pisma zapisao drugu hipotezu:

Svaki parni prirodni broj veći od 2 se može zapisati kao zbir 3 prosta.

Goldbach je smatrao broj 1 prostim, što je kasnije defnicija prostih brojeva izostavila. Danas je poznato da su te 2 hipoteze ekvivalentne.

Euler mu je odgovorio i prepravio Goldbachovu hipoteza:

Svaki prirodni broj veći od 2 se može zapisati kao zbir 2 prosta.

Još jedna Goldbachova hipoteza da se svaki neparni broj veći od 5 može prikazati kao zbir 3 prosta slijedi implikacijom iz potonje.

Do danas je hipoteza provjerena za prirodne brojeve manje od $1609\times 10^{18}$ . Hipoteza još nije dokazana.

Chenov teorem

Chen Jingrun je bio kineski matematičar XX vijeka. Svojim teoremom je napravio veliki korak prema rješavanju Goldbachove hipoteze.

Teorem glasi

Svaki dovoljno veliki prirodni broj može se prikazati kao zbir 2 prosta ili kao zbir prostog i poluprostog ( proizvod 2 prosta)

Green-Tao teorema

Teoremu su dokazali Ben Green i Terence Tao 2004. godine.

Niz prostih brojeva sadrži proizvoljno mnogo proizvoljno dugačkih aritmetičkih nizova.

Drugim riječima postoji niz prostih brojeva s n članova : $P_{k}=P+k*d$ gdje je $k>0$ i $k<n+1$ Ova teorema samo govori da postoje i ne pokazuje kako se pronalaze.