Dirichletov red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Dirichletov red je svaki red oblika

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

gdje su s i an, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Najpoznatiji Dirichletov red je

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter \scriptstyle\chi(n) dobija se

\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

gdje je L(\chi,s) Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}

gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i

\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}
\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

gdje je σa(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d0 su

 \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}
 \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}.

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

za Re(s) > 1. Ovdje je \scriptstyle \Lambda(n) von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju \scriptstyle\lambda(n), imamo

\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.

Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije[uredi | uredi izvor]

Za dati niz {an}nN kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

 f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}

kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {an}nN ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je an = O(nk), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.

Ako je skup suma an + an + 1 + ... + an + k ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.

U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

Derivacije[uredi | uredi izvor]

Za dato

F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ0, dobijamo da

\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

konvergira za Re(s) > σ0. Ovdje, \scriptstyle\Lambda(n) je von Mangoldtova funkcija.

Proizvodi[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo

 F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s}

i

 G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}.

Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ kako }T \sim \infty.

Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo

 \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ kako } T \sim \infty.

Transformacije integrala[uredi | uredi izvor]

Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]