Dirichletov red

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Dirichletov red je svaki red oblika

gdje su s i an, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Najpoznatiji Dirichletov red je

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter dobija se

gdje je Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i

gdje je σa(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d0 su

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

za Re(s) > 1. Ovdje je von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju , imamo

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije[uredi | uredi izvor]

Za dati niz {an}nN kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {an}nN ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je an = O(nk), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.

Ako je skup suma an + an + 1 + ... + an + k ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.

U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

Derivacije[uredi | uredi izvor]

Za dato

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ0, dobijamo da

konvergira za Re(s) > σ0. Ovdje, je von Mangoldtova funkcija.

Proizvodi[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo

i

Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo

Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo

Transformacije integrala[uredi | uredi izvor]

Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]