Riemannova zeta-funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Riemannova zeta-funkcija u kompleksnoj ravni
Riemannova zeta-funkcija za realni s > 1

U matematici, Riemannova zeta-funkcija, nazvana po Bernhardu Riemannu, je važna funkcija u teoriji brojeva zbog veze s teoremom o raspodjeli prostih brojeva. Također se primjenjuje u fizici, teoriji vjerovanoće, i primjenjenoj statistici.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Funkcija ζ(s) je funkcija kompleksne varijable s i najprije se definirala slijedećom beskonačnom sumom:

Leonhard Euler je otkrio vezu zeta-funkcije i raspodjele prostih brojeva

gdje, po definiciji, lijeva strana je ζ(s) a beskonačni produkt na desnoj strani je po svim prostim brojevima p.

Zeta-funkcija daje sljedeće vrijednosti za neke odabrane brojeve:

; (harmonički niz)
; koristi se za računanje kritične temperature Bose–Einsteinovog kondenzata u fizici.
; dokaz ove jednakosti je tzv. Bazelski problem.
; tzv. Apéryjeva konstanta

Poznato je da zeta-funkcija ima nule -2, -4, -6... One se nazivaju trivijalnima. Hipoteza da sve ostale (kompleksne) nule imaju realni dio jednak 1/2 je poznata kao Riemannova hipoteza i do sada nije riješena.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (1859). In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
  • Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.
  • Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464. (Globally convergent series expression.)
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]