Kompleksan broj

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Complex number illustration.svg

U skupu realnih brojeva \mathbb{R} jednačina x^2-1=0 ima dva rješenja

x^2-1=0 => x=\pm 1

Slična jednačina x^2+1=0 u skupu \mathbb{R} nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica i definisana na sljedeći način i^2=-1 tj

x^2+1=0 => x=\pm i. Iz ove definicije slijedi

 \displaystyle  i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^5=i, \quad i^6=-1, \ldots.

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

x + yi\,

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i2 = -1.

Realni broj x se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa Re(z), a y se naziva imaginarni dio i označava se sa Im(z).

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. x = x + 0 i.

Povremeno se moze naići na definiciju i=\sqrt{-1}. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. \sqrt{-1}*\sqrt {-1}=\sqrt{1}=1. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja i=\sqrt{-1}imamo: i*i=-1 što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi (x,y) realnih brojeva.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja \sqrt{-1} .

S druge strane, zapis oblika z = x + yi pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

z = x + yi i

z = (x, y) potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva \mathbb{C} je skup svih brojeva oblika z=x+iy, gdje su x,y\in \mathbb{R}.

Posebno je 0=0+i0.

x=\mathrm{Re}( z) je realni dio kompleksnog broja z,

y=\mathrm{Im} z je imaginarni dio kompleksnog broja z.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

z = x + iy za x, y \in \mathbb{R}

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

z = r(cos \theta + isin\theta), r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}

pri čemu je

r=\mid z\mid modul

\theta = ARg z argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

z=r^{i\theta} za r \ge 0,\theta \in \mathbb{R}

pri čemu je

r=\mid z\mid modul

\theta = ARg z argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \and \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})).

Konjugirano kompleksni broj broja z=x+iy je broj \bar z=x-iy.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z je nenegativni realni broj r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}.

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

malo


U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su z_1=x_1+iy_1 i z_2=x_2+iy_2 dva kompleksna broja.

\displaystyle z_1+z_2  \displaystyle = x_1+x_2+i(y_1+y_2)

i oduzimanje

\displaystyle z_1-z_2  \displaystyle = x_1-x_2+i(y_1-y_2)

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

(z_1+z_2=z_2+z_1 za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost sabiranja

z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3, za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost sabiranja

\exists 0\in \mathbb{C} z+0=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj 0=(0,0)=0+0i

(\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0 postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj -z=(-x,-y)=-x-yi

Množenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Neka su z_1=x_1+iy_1 i z_2=x_2+iy_2 dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje \displaystyle z_1\cdot z_2 \displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2 \displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)

Osobine množenja kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

(z_1*z_2=z_2*z_1 za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost množenja

z_1 * (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost množenja

\exists 1\in \mathbb{C} z*1=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element 1 za množenje

\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C} z*(-z)=1 postojanje reciproćnog elemanta

z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi izvor]

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva a i b, u oznaci a \circ b,je realan broj određen kao

a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b})

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima a = \mid a \mid(cos \varphi +
i sin \varphi) ib = \mid b \mid(cos \psi +
i sin \psi) Lako je proveriti da je

a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)=  \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB}

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1. a \circ a = \mid a \mid ^2
  2. a \circ b = b \circ a
  3. \overline{a \circ b}=a \circ b
  4. (\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b)
  5. (az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b)
  6. a\circ b = 0 <=> OA \perp OB (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a i b)

Realan proizvod kompleksnih brojeva a i b jednak je potenciji koordinantnog početka O kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik AB, gdje su A i B tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a i b.

Tačka M je sredina duži AB određena kompleksnim brojem \frac{a+b}{2}
, potencija tačke O u odnosu na krug sa središtem u tački M i poluprečnikom

r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2} jednaka je

OM^2 - r^2 =\mid  \frac{a+b}{2}    \mid -\mid  \frac{a-b}{2}    \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b}   }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b})   }{4}= a\circ b

Neka su tačke A,B,C,D taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a, b, c, d. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. AB \perp CD
  2. (a+b)\circ (c+d)=0
  3. \frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix}
  0
\end{Bmatrix}
  4. Re(\frac{b-a}{d-c})=0

Središte kružnice opisane oko trougla ABC nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena A, B, C trougla ABC određena kompleksnim brojevima a, b, c respektivno, tada je ortocentar H tog trougla određen kompleksnim brojem h = a + b + c.

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi izvor]

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2} nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva a i b.

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima 
a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi) i a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi) Lako je provjeriti da je

\mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)=

\mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB}

Neka su a, b, c kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1. \overline{a \times b}= -a \times b
  2. a \times b= 0 <=> a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b gdje je \lambda \in \mathbb{R} \  \begin{Bmatrix}
  0
\end{Bmatrix}
  3. 
a \times b =-b \times a
  4. \alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b) ( \forall \alpha \in\mathbb{R} )

Ako su A(a) i B(b) dvije različite tačke različite od O(0), tada je a \times b = 0 onda i samo onda ako su O, A,B kolinearne tačke.

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva a i b ima sljedeći geometrijski smisao

a \times b = \begin{cases}
    2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \  orijentisan \\
    -2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan
\end{cases} Neka su A(a), B(b) i C(c) tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

P_{ABC}=\begin{cases}
    \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orjentisan \\
    \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orjentisan 
 \end{cases}

Neka su A(a), B(b) i C(c) tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke A,B,C su kolinearne
  2. (b - a) \times  (c - a) = 0
  3. a \times b + b \times  c + c \times  a = 0

Neka su A(a), B(b), C(c) i D(d) četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je AB\parallel CD onda i samo onda ako je (b-a)\times(d-c) = 0

Dijeljenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

\displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za


\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C}

Neka je z = x + yi \ne  0 bilo koji. Onda je x^2 + y^2 \ne 0 pa je dobro definisan broj

z'=	\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i

\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i.

imamo

z'*z=z*z'=1

z'=z^{-1}=\frac{1}{z}

Konjugovano kompleksni brojevi[uredi | uredi izvor]

Complex conjugate picture.svg

Kompleksan broj \overline{z} \  = x - yi=r^{-i\theta} nazivamo konjugovanim broju z = x + yi = r^{i\theta}.

Brojevi z i \overline{z} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Re z = \frac{1}{2}(z+\overline{z})

Im z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})

Lako se provjerava da vrijedi

  1. 
\overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2}
  2. 
\overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}
  3. 
\overline{z_1*z_2} =\overline{z_1} *\overline{z_2}
  4. 
\overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}}

Neka je z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

z^2=z*z

z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta

z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta

z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

z^n=  r^n \ cis n\theta ili

(cos \theta+ isin \theta)^n=  cos n\theta + isin n\theta (n \in Z)

Stepenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

z^n = r^n(cosn \theta + isin n \theta) = r^ne^{in\theta} za n \in  N.

z^mz^n=z^{m+n}

(z_1z_2)^n=(z_1z_2)^n

(z^m)^n=z^{mn}

Korjenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

\sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix}
  u_0,u_1...u_n
\end{Bmatrix}
za n \in  N

gdje je


u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n}) za k=0,1,...(n-1)

u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2} za k=0,1,...(n-1)

Kvadratni korjen imaginarnog broja[uredi | uredi izvor]

\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

i = (a+bi)^2\!

i = a^2 + 2abi - b^2.\!

Dobijamo dvije jednačine

\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}

čija su rješenja

a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Izbor glavnog korjena daje

a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )

\begin{align}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}

Apsolutna vrijednost argumenta[uredi | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja z = x + yi je

\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,
\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\
\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{cases}

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku[uredi | uredi izvor]

Iz trigonometrijskih identiteta

 \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b)

 \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b)

imamo

z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,

Primjer

(2+i)(3+i)=5+5i. \,

\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}

Dijeljenje

\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

a+bi= \rho (\cos \phi +i \sin \phi )\,

 \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \ \phi = \arctan \frac{b}{a}, za a>0 i  \phi = \pi + \arctan \frac{b}{a} za a<0; kada je a=0 onda je  \phi = \frac{ \pi}{2}, ako je b>0 i  \phi =- \frac{ \pi}{2}, ako je b<0

Broj  \rho se naziva modul kompleksnog broja , а  \phi је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1) i z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)

onda je

z_1z_2=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)=

r_1r_2(cos\varphi_1cos\varphi_2+icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1+i^2sin\varphi_1sin\varphi_2)=


r_1r_2((  cos\varphi_1cos\varphi_2 -  sin\varphi_1 sin\varphi_2)+ i(cos\varphi_1sin\varphi_2 cos\varphi_2sin\varphi_1)=

r_1r_2(cos(\varphi_1+\varphi_2)+i sin(\varphi_1+\varphi_2)

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

z_1=r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1) i z_2=r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)

\frac{z_1}{z_2}= 	\frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}= \frac{r_1(cos\varphi_1+isin\varphi_1)}{r_2(cos\varphi_2+isin\varphi_2)}*
\frac{r_1(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}{r_2(cos\varphi_2-isin\varphi_2)}

	 \frac{r_1}{r_2}*\frac{cos\varphi_1cos\varphi_2-icos\varphi_1sin\varphi_2+icos\varphi_2sin\varphi_1-i^2sin\varphi_1sin\varphi_2}{cos^2\varphi_2+sin^2\varphi_2}

\frac{r_1}{r_2}(cos(\varphi_1-\varphi_2)+isin (\varphi_1-\varphi_2))=\frac{r_1}{r_2}(cis(\varphi_1-\varphi_2)

Moavrova formula[uredi | uredi izvor]

Neka je z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

z^2=z*z

z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)=  r^2 \ cis 2\theta

z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)=  r^3 \ cis 3\theta

z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)=  r^4 \ cis 4\theta

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. Kompleksni brojevi
  2. Kompleksni brojevi
  3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
  4. Skup kompleksnih brojeva
  5. Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja
  6. Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
  7. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers