Kompleksan broj

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Complex number illustration.svg

U skupu realnih brojeva jednačina ima dva rješenja

Slična jednačina u skupu nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica definisana na sljedeći način tj

. Iz ove definicije slijedi

. [1]

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

gdje su x i y realni brojevi, a i se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu i2 = -1.

Realni broj se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa , a se naziva imaginarni dio i označava se sa .

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj x možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je y = 0, tj. .

Povremeno se moze naići na definiciju . U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. . U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja imamo: što je i korektan rezultat.

Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi realnih brojeva.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja .

S druge strane, zapis oblika pogodniji je za računanje.

Oba oblika kompleksnog broja

i

potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva je skup svih brojeva oblika , gdje su .

Posebno je .

je realni dio kompleksnog broja ,

je imaginarni dio kompleksnog broja .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

za

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

pri čemu je

modul

argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

za

pri čemu je

modul

argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

Konjugirano kompleksni broj broja je broj .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je nenegativni realni broj .

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

malo


U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su i dva kompleksna broja.

[2]

i oduzimanje

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

za komutativnost sabiranja

za asocijativnost sabiranja

za neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj

postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj [3]

Množenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Neka su i dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje

Osobine množenja kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

za komutativnost množenja

za asocijativnost množenja

za neutralni element za množenje

postojanje reciproćnog elemanta

za distributivnost množenja u odnosu na sabiranje [4]

Realan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi izvor]

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva i , u oznaci ,je realan broj određen kao

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima i Lako je proveriti da je

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

  1. (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i )

Realan proizvod kompleksnih brojeva i jednak je potenciji koordinantnog početka kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik , gdje su i tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i .

Tačka je sredina duži AB određena kompleksnim brojem , potencija tačke u odnosu na krug sa središtem u tački i poluprečnikom

jednaka je

Neka su tačke ,,, taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima , , , . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

Središte kružnice opisane oko trougla nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena , , trougla određena kompleksnim brojevima , , respektivno, tada je ortocentar tog trougla određen kompleksnim brojem .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja[uredi | uredi izvor]

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva i .

Neka su i tačke određene kompleksnim brojevima i Lako je provjeriti da je

Neka su , , kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

  1. gdje je
  2. ( )

Ako su i dvije različite tačke različite od , tada je onda i samo onda ako su , , kolinearne tačke.

Neka su ) i ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva i ima sljedeći geometrijski smisao

Neka su , i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

Neka su , i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

  1. Tačke ,, su kolinearne

Neka su , , i četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je onda i samo onda ako je

Dijeljenje kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za

Neka je bilo koji. Onda je pa je dobro definisan broj

imamo

Konjugovano kompleksni brojevi[uredi | uredi izvor]

Complex conjugate picture.svg

Kompleksan broj nazivamo konjugovanim broju . [5]

Brojevi i čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

Lako se provjerava da vrijedi

  1. [6]

Neka je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

[7]

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

ili

[8]

Stepenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

za .

Potencije imaginarne jedinice=[uredi | uredi izvor]

[9]

Korjenovanje kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

za

gdje je

za

za

Kvadratni korjen imaginarnog broja[uredi | uredi izvor]

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

Dobijamo dvije jednačine

čija su rješenja

Izbor glavnog korjena daje

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

Apsolutna vrijednost argumenta[uredi | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja je

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

[10]

Množenje i dijeljenje u polarnom obliku[uredi | uredi izvor]

Iz trigonometrijskih identiteta

imamo

Primjer

Dijeljenje

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

Ponekad je kompleksne brojeve potrebno pisati u trigonometrijskom obliku

, za i za ; kada je onda je , ako je i , ako je

Broj se naziva modul kompleksnog broja , а је argument kompleksnog broja

Množenje

Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.

Neka su zadani kompleksni brojevi

i

onda je [11]

Dijeljenje

Neka su zadani kompleksni brojevi

i

[12]

De Moavrova formula[uredi | uredi izvor]

Neka je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

[13]

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. Kompleksni brojevi
  2. Kompleksni brojevi
  3. KOMPLEKSNI - BROJEVI
  4. Skup kompleksnih brojeva
  5. Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja 21.februar 2014
  6. Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku 19. februar 2014.
  7. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja17. februar 2014.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers