Apsolutna vrijednost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Grafik apsolutne vrijednosti funkcije za realne brojeve.
Apsolutna vrijednost broja može se smatrati udaljenosti od nule.

U matematici, apsolutna vrijednost je njegova brojna vrijednost i pri tom se ne uzima predznak broja .

To je potpuni besmisao: brojevi jesu što su--apstraktni objekti--i nemaju ni brojni znak; ako je x realan broj, koji li je njegov znak što se ne uzima u obzir? Ostali dio priloga podjednako je nestručan; ipak da navedem definiciju: absolutna vrijednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sačinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x<0; |x|=x ako je $x>-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.

Primjer

Brojevi 3 i -3 imaju istu apsolutnu vrijednost 3 .

Definicija[uredi | uredi izvor]

za bilo koji realan broj a apsolutna vrijednost |a| je jednaka broju a a ako je a ≥ 0, i −a ako je a < 0. |a|=\left\{\begin{matrix}
a, & a \ge 0 \\
-a, & a < 0
\end{matrix}\right. apsolutna vrijednost uvijek je pozitivna tako |a| ne može biti manja od nule ili 0


Apsolutna vrijednost se može uzeti kao udaljenost datog broja od 0 na brojnoj osi.

Osobine[uredi | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost broja a ima osobine :

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0 akko a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| ( nejednakost trougla )
  6. |ab| ≥ ||a| − |b||
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. |a| ≤ b akko −bab
  9. |a| ≥ b akko a ≤ −b ili ba

iz navedenog imamo :

|x − 3| ≤ 9
−9 ≤ x−3 ≤ 9
−6 ≤ x ≤ 12

Kompleksni brojevi[uredi | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z. Na slici sr vidi da z i njegov kompleksno konjugirani z imaju istu apsolutnu vrijednost.

Apsolutna vrijednost kompleksnog broja takođe se naziva i modul kompleksnog broja.

Za z\in\mathbb C data je kao |z| = \sqrt{z\,\overline z}, ( \overline z konjugovana vrijednost broja z.

Kako je z = x + y\,i za a, b\in\mathbb R, imamo

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Kada je kompleksni broj izražen u polarnom obliku.

z = r e^{i \theta}

Za r \ge 0 i \theta realno je

|z| = r.

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}

|z| \neq \sqrt{z^2}.

Odnos prema funkciji znaka[uredi | uredi izvor]

|x| = x \sgn(x)

ili

 |x| \sgn(x) = x,

za x \ne 0

\sgn(x) = \frac{|x|}{x}.

Diferencijal[uredi | uredi izvor]

Apsolutna funkcija realne vrijednosti ima izvod za svaki x \ne 0, ali nije diferencijabilna na x = 0.

\frac{d|x|}{dx} = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} -1 & x<0 \\  1 & x>0. \end{cases}

Integral[uredi | uredi izvor]

\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C,

Udaljenost[uredi | uredi izvor]

Euklidska udaljenost između dvije tačke a = (a_1, a_2, \dots , a_n) i b = (b_1, b_2, \dots , b_n) je

\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}.

|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

Ako su zadane tačke  a = a_1 + i a_2 i b = b_1 + i b_2 imamo

|a - b|  = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)|
 = |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)|
 = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.

Prava vrijednost funkcije d na skupu X × X naziva se vrijednost (ili funkcija udaljenosti) na X, ako zadovoljava sljedeće četiri aksiome:

d(a, b) \ge 0
d(a, b) = 0 \iff a = b
d(a, b) = d(b, a)
d(a, b)  \le d(a, c) + d(c, b)

Apsolutna vrijednost vektora[uredi | uredi izvor]

Apsolutna vrijednost vektora v=(x_1,x_2,..., x_n) u Euklidskom prostoru R^n data je kao

\left | \mathbf{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}.

|v| se može smatrati dužinom vektora v.

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. Absolute value
  2. absolute value
  3. Absolute Value

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]