Sabiranje

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
3 + 2 = 5 sa jabukama, popularnim primjerom u školama[1]

Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).

Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. :. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.

Sabiranje je komutativno, što znači da je : , tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi :


Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija[uredi | uredi izvor]

Znak plus

Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,

(verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")
(verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")
(pogledajte "asocijativnost" ispod)
(pogledajte "množenje" ispod)

Osobine[uredi | uredi izvor]

Komutativnost[uredi | uredi izvor]

4 + 2 = 2 + 4 sa blokovima

Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

Asocijativnost[uredi | uredi izvor]

2+(1+3) = (2+1)+3 sa segnetntovanim štapovima









Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz

trebao biti definisan kao

ili :

Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

Na primjer

.

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Neutralni elemenat[uredi | uredi izvor]

Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom i zove „nula“:

Inverzni elemenat[uredi | uredi izvor]

Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom:

Uopćeno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definirano.

Naprimjer

sabiranje nad skupom cijelih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Tablica sabiranja[uredi | uredi izvor]

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Napomene[uredi | uredi izvor]

  1. ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."

Reference[uredi | uredi izvor]

Historija
  • Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5. 
  • Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5. 
  • Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7. 
  • Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. 
  • Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English. MAA. ISBN 0-88385-511-9. 
  • Williams, Michael (1985). A history of computing technology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9. 
Elementarna matematika
  • Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE iz.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1. 
  • F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5. 
Obrazovanje
Spoznajna nauka
  • Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills. str. 75. ISBN 0-8058-3155-X. 
  • Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X. 
  • Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective. str. 60. ISBN 0-89859-171-6. 
  • Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills. str. 3. ISBN 0-86377-816-X. 
Matematička ekspozicija
  • Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Pristupljeno 3 February 2006.  Nepoznat parametar |dateformat= ignorisan (pomoć)
  • Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3. 
  • Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1. 
  • Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1. 
  • Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2. 
  • Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e iz.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1. 
Napredna matematika
Matematičko istraživanje
Računarstvo
  • M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0. 
  • P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e iz.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7. 
  • Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. 
  • T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.