Sabiranje

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
3 + 2 = 5 sa jabukama, popularnim primjerom u školama[1]

Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabirati možemo jabuke, kruške, lubenice, ovce u snu (sve su to cijeli brojevi), no i tekućine utočene i istočene iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi).

Matematički sabiranje je predstavljamo znakom plus +, npr. :1 + 2 = 3. Brojeve koje sabiremo nazivamo pribrojnici.

Sabiranje je komutativno, što znači da je :1 + 2 = 2 + 1 , tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta pribrojnika, a rezultat sabiranja se neće promijeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi : ( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 )


Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

 \sum_{i=1}^{n} x_{i} = x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n-1} + x_{n},

što znači da sabiramo prvih n članova niza, od x1 do xn. Zbir članova Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina, bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija[uredi | uredi izvor]

Znak plus

Sabiranje se zapisuje korištenjem znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru, to jest, u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti. Na primjer,

1 + 1 = 2 (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")
2 + 2 = 4 (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")
5 + 4 + 2 = 11 (pogledajte "asocijativnost" ispod)
3 + 3 + 3 + 3 = 12 (pogledajte "množenje" ispod)

Osobine[uredi | uredi izvor]

Komutativnost[uredi | uredi izvor]

4 + 2 = 2 + 4 sa blokovima

Sabiranje je komutativno, što znači da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromijenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

 a  + b = b + a

Asocijativnost[uredi | uredi izvor]

2+(1+3) = (2+1)+3 sa segnetntovanim štapovima









Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova sume. Da li bi izraz

a + b +c

trebao biti definisan kao

(a + b)+ c ili :a + (b + c)

Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

(a + b)+ c = a + (b+c)

Na primjer

(1 + 2 )+ 3) = 2+ 3 = 6= 1+5 = 1+ (2+3) .

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao što je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Neutralni elemenat[uredi | uredi izvor]

Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom 0 i zove „nula“:

\exists 0 \in R, \forall x \in R, x+0=x

Inverzni elemenat[uredi | uredi izvor]

Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom:

\forall x \in R, \exists {-x}, x+(-x)=0

Uopćeno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definirano.

Naprimjer

sabiranje nad skupom cijelih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Napomene[uredi | uredi izvor]

  1. ^ From Enderton (p.138): "...select two sets K and L with card K = 2 and card L = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."

Reference[uredi | uredi izvor]

Historija
  • Bunt, Jones, and Bedient (1976). The historical roots of elementary mathematics. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389015-5. 
  • Ferreirós, José (1999). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Birkhäuser. ISBN 0-8176-5749-5. 
  • Kaplan, Robert (2000). The nothing that is: A natural history of zero. Oxford UP. ISBN 0-19-512842-7. 
  • Karpinski, Louis (1925). The history of arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. 
  • Schwartzman, Steven (1994). The words of mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English. MAA. ISBN 0-88385-511-9. 
  • Williams, Michael (1985). A history of computing technology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-389917-9. 
Elementarna matematika
  • Davison, Landau, McCracken, and Thompson (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE iz.). Prentice Hall. ISBN 0-13-435817-1. 
  • F. Sparks and C. Rees (1979). A survey of basic mathematics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-059902-5. 
Obrazovanje
Spoznajna nauka
  • Baroody and Tiilikainen (2003). "Two perspectives on addition development". The development of arithmetic concepts and skills. str. 75. ISBN 0-8058-3155-X. 
  • Fosnot and Dolk (2001). Young mathematicians at work: Constructing number sense, addition, and subtraction. Heinemann. ISBN 0-325-00353-X. 
  • Weaver, J. Fred (1982). "Interpretations of number operations and symbolic representations of addition and subtraction". Addition and subtraction: A cognitive perspective. str. 60. ISBN 0-89859-171-6. 
  • Wynn, Karen (1998). "Numerical competence in infants". The development of mathematical skills. str. 3. ISBN 0-86377-816-X. 
Matematička ekspozicija
  • Bogomolny, Alexander (1996). "Addition". Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Pristupljeno 3 February 2006.  Nepoznat parametar |dateformat= ignorisan (pomoć)
  • Dunham, William (1994). The mathematical universe. Wiley. ISBN 0-471-53656-3. 
  • Johnson, Paul (1975). From sticks and stones: Personal adventures in mathematics. Science Research Associates. ISBN 0-574-19115-1. 
  • Linderholm, Carl (1971). Mathematics made difficult. Wolfe. ISBN 0-7234-0415-1. 
  • Smith, Frank (2002). The glass wall: Why mathematics can seem difficult. Teachers College Press. ISBN 0-8077-4242-2. 
  • Smith, Karl (1980). The nature of modern mathematics (3e iz.). Wadsworth. ISBN 0-8185-0352-1. 
Napredna matematika
Matematičko istraživanje
Računarstvo
  • M. Flynn and S. Oberman (2001). Advanced computer arithmetic design. Wiley. ISBN 0-471-41209-0. 
  • P. Horowitz and W. Hill (2001). The art of electronics (2e iz.). Cambridge UP. ISBN 0-521-37095-7. 
  • Jackson, Albert (1960). Analog computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. 
  • T. Truitt and A. Rogers (1960). Basics of analog computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7.