| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
Funkciju
kojoj je domen skup prirodnih brojeva
, a kodomena ma koji dati skup
nazivamo brojni niz (slog) i označavamo
sa
, odnosno sa
.
U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake
odnosno
.
Element
(tj.
) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element
prvi član niza.
Ako je domen funkcije
konačan podskup skupa
, onda za niz
kažemo da je konačan, i označavamo ga sa
.
Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.
- Primjer
- Funkcija
data sa
za
određuje niz
- Niz
zadan formulom
za
, tj.
glasi 
Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang
konačan skup
.
Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki
član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.
a(n + 2) =an + a(n +1)
Primjer
2, 3,5, 8,...
1, 1, 2, 3, ....
Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
a(n +1) - an = a(n +2) -a(n +1)
Primjer
7, 9, 11, 13 ,.....
1,2 ,3, 4, 5, ...
Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov
[a(n +1)]2 =ana(n +2)
Neka je
neki pozitivan broj i
. Pod
- okolinom tačke
, u oznaci
ili
podrazumijevamo skup
- okolina tačke
je otvoreni interval
dužine
.
Broj
nazivamo tačkom gomilanja niza
ako svakoj
- okolini tačke
pripada beskonačno mnogo članova niza
.
Dati niz
može imati više tačaka gomilanja
Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.
Za niz
kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je
za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je
za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je
za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.
- Primjer
Niz
je ograničen. Za svako n je
Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.
Niz funkcija
označavamo kraće sa
odnosno
Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.
Ako je
dati niz i
realan broj, onda za broj
kažemo da je granična vrijednost niza
ako za svaki
postoji prirodan broj
(koji može da ovisi od
) takav da za sve prirodne brojeve
vrijedi nejednakost:
U tom slučaju pišemo
odnosno
kada
i čitamo:
je granična vrijednost niza
kada n teži u beskonačnost odnosno
konvergira broju
.
Ako je
, onda niz
nazivamo nula niz.
Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.
Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj
naziva se granična vrijednost niza
ako se u svakoj njegovoj
- okolini nalaze gotovo svi članovi niza
, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.
- Primjer
Niz
konvergira broju 2
Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:
- Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
- Konvergentan niz je ograničen
Za niz
kažemo da divergira u
ako za svaki realan broj
postoji prirodan broj
takav da za sve
vrijedi:
, i u tom slučaju pišemo
odnosno da
.
Za niz
kažemo da divergira u
ako za svaki realan broj
postoji prirodan broj
takav da za sve
vrijedi:
, i u tom slučaju pišemo
odnosno da
.
Konvergencija funkcionalnih nizova[uredi | uredi izvor]
U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.
Neka je
neki niz funkcija definisanih na nekom skupu
. Ako odaberemo neko proizvoljno
, onda stavljajući
dobijamo brojni niz
.
Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz
konvergira u tački
.
Ako niz
konvergira u svakoj tački
, onda kažemo da niz konvergira na
.
Ovaj vid konvergencije niza
često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.
Ravnomjerna (uniformna) konvergencija[uredi | uredi izvor]
Neka su na nekom skupu
definisane funkcije
.
Kažemo da niz
ravnomjerno (uniformno) na
konvergira ka funkciji
ako za svako
postoji prirodan broj
koji zavisi samo od
i takav je da za svako
vrijedi
čim je
Ako niz
konvergira za gotovo svako
, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na
.
Za niz
- izmjerivih funkcija na prostoru mjere
kažemo da konvergira u mjeri
ka funkciji
, ako za svako
vrijedi
kada
Za niz
- izmjerivih funkcija na prostoru mjere
kažemo da konvergira u normi
ako vrijedi:
kada