Niz

Za druga značenja, pogledajte Niz (čvor).

Funkciju $f:\mathbf {N} \longrightarrow R$$f:\mathbf {N} \longrightarrow R$ kojoj je domen skup prirodnih brojeva $\mathbf {N}$$\mathbf {N}$, a kodomena ma koji dati skup $R$$R$ nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$, odnosno sa $a(1),a(2),\ldots ,a(n),\ldots$$a(1),a(2),\ldots ,a(n),\ldots$.

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake $\{a_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{a_{n}\}_{n\in \mathbf {N} }$ odnosno $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

Element $a(n)$$a(n)$ (tj. $a_{n}$$a_{n}$) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element $a_{1}$$a_{1}$ prvi član niza.

Ako je domen funkcije $f$$f$ konačan podskup skupa $\mathbf {N}$$\mathbf {N}$, onda za niz $\{a_{n}\}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$$\{a_{n}\}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ kažemo da je konačan, i označavamo ga sa $\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$$\{a_{k}\}_{k=1}^{n}$.

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

Primjer

• Funkcija $a:\mathbf {N} \longrightarrow R$$a:\mathbf {N} \longrightarrow R$ data sa $a_{n}=a(n)=3^{n}$$a_{n}=a(n)=3^{n}$ za $\forall (n\in \mathbf {N} )$$\forall (n\in \mathbf {N} )$ određuje niz

$3,3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},\ldots$$3,3^{2},3^{3},3^{4},3^{5},\ldots$

• Niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ zadan formulom $a_{n}={\frac {1}{2}}[5+(-1)^{n}]$$a_{n}={\frac {1}{2}}[5+(-1)^{n}]$ za $\forall (n\in \mathbf {N} )$$\forall (n\in \mathbf {N} )$, tj. $a_{n}=\left\{{\begin{array}{cc}3&{\mbox{ako je n paran}}\\2&{\mbox{ako je n neparan}}\end{array}}\right.$$a_{n}=\left\{{\begin{array}{cc}3&{\mbox{ako je n paran}}\\2&{\mbox{ako je n neparan}}\end{array}}\right.$ glasi $2,3,2,3,2,3,\ldots$$2,3,2,3,2,3,\ldots$

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang $R$$R$ konačan skup $\{2,3\}$$\{2,3\}$.

Važniji nizovi brojeva

Fibonaccijev niz

Glavni članak: Fibonaccijev broj

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a_{(n + 2)} =a_n + a_{(n +1)}

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

Aritmetički niz

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a_{(n +1)} - a_n = a_{(n +2)} -a_{(n +1)}

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

Geometrijski niz

Geometijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a_{(n +1)}]² =a_na_{(n +2)}

Tačka gomilanja niza

Neka je $\epsilon$$\epsilon$ neki pozitivan broj i $x_{0}\in R$$x_{0}\in R$. Pod $\epsilon$$\epsilon$ - okolinom tačke $x_{0}$$x_{0}$, u oznaci $O_{\epsilon }(x_{0})$$O_{\epsilon }(x_{0})$ ili $O(x_{0})$$O(x_{0})$ podrazumijevamo skup

$O_{\epsilon }(x_{0})=\{x\in R:|x-x_{0}|<\epsilon \}$$O_{\epsilon }(x_{0})=\{x\in R:|x-x_{0}|<\epsilon \}$

$\epsilon$$\epsilon$- okolina tačke $x_{0}$$x_{0}$ je otvoreni interval $(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon )$$(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon )$ dužine $2\epsilon$$2\epsilon$.

Broj $\alpha \in R$$\alpha \in R$ nazivamo tačkom gomilanja niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ ako svakoj $\epsilon$$\epsilon$- okolini tačke $\alpha$$\alpha$ pripada beskonačno mnogo članova niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$.

Dati niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ može imati više tačaka gomilanja

Ograničeni nizovi

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je $a_{n}\leq r$$a_{n}\leq r$ za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je $a_{n}\geq s$$a_{n}\geq s$ za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je $s\leq a_{n}\leq r$$s\leq a_{n}\leq r$ za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz $\{(-1)^{n-1}(2+{\frac {3}{n}})\}$$\{(-1)^{n-1}(2+{\frac {3}{n}})\}$ je ograničen. Za svako n je $-{\frac {7}{2}}\leq a_{n}\leq 5$$-{\frac {7}{2}}\leq a_{n}\leq 5$

Nizovi funkcija

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x),\ldots$$f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x),\ldots$ označavamo kraće sa $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$$\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }$ odnosno $\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$

Konvergencija nizova

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ dati niz i $\alpha$$\alpha$ realan broj, onda za broj $\alpha$$\alpha$ kažemo da je granična vrijednost niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ ako za svaki $\epsilon >0$$\epsilon >0$ postoji prirodan broj $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$$n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ (koji može da ovisi od $\epsilon$$\epsilon$) takav da za sve prirodne brojeve $n>n_{0}$$n>n_{0}$ vrijedi nejednakost:

$|a_{n}-\alpha |<\epsilon$$|a_{n}-\alpha |<\epsilon$

U tom slučaju pišemo $\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=\alpha$$\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=\alpha$ odnosno $a_{n}\longrightarrow \alpha$$a_{n}\longrightarrow \alpha$ kada $n\longrightarrow \infty$$n\longrightarrow \infty$ i čitamo: $\alpha$$\alpha$ je granična vrijednost niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ kada n teži u beskonačnost odnosno $a_{n}$$a_{n}$ konvergira broju $\alpha$$\alpha$.

Ako je $\alpha =0$$\alpha =0$, onda niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj $\alpha$$\alpha$ naziva se granična vrijednost niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ ako se u svakoj njegovoj $\epsilon$$\epsilon$- okolini nalaze gotovo svi članovi niza $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz $\{{\frac {2n+1}{n}}\}$$\{{\frac {2n+1}{n}}\}$ konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

• Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
• Konvergentan niz je ograničen

Za niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ kažemo da divergira u $+\infty$$+\infty$ ako za svaki realan broj $A>0$$A>0$ postoji prirodan broj $n_{0}(A)$$n_{0}(A)$ takav da za sve $n>n_{0}(A)$$n>n_{0}(A)$ vrijedi: $a_{n}>A$$a_{n}>A$, i u tom slučaju pišemo $\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=+\infty$$\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=+\infty$ odnosno da $a_{n}\longrightarrow +\infty$$a_{n}\longrightarrow +\infty$.

Za niz $\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$ kažemo da divergira u $-\infty$$-\infty$ ako za svaki realan broj $B<0$$B<0$ postoji prirodan broj $n_{0}(B)$$n_{0}(B)$ takav da za sve $n>n_{0}(B)$$n>n_{0}(B)$ vrijedi: $a_{n}<B$$a_{n}<B$, i u tom slučaju pišemo $\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=-\infty$$\lim _{n\longrightarrow \infty }a_{n}=-\infty$ odnosno da $a_{n}\longrightarrow -\infty$$a_{n}\longrightarrow -\infty$.

Konvergencija funkcionalnih nizova

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

Konvergencija po tačkama

Neka je $\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$ neki niz funkcija definisanih na nekom skupu $D$$D$. Ako odaberemo neko proizvoljno $x_{0}\in D$$x_{0}\in D$, onda stavljajući $x=x_{0}$$x=x_{0}$ dobijamo brojni niz $\{f_{n}(x_{0})\}$$\{f_{n}(x_{0})\}$.

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz $\{f_{n}(x)\}$$\{f_{n}(x)\}$ konvergira u tački $x_{0}$$x_{0}$.

Ako niz $\{f_{n}(x)\}$$\{f_{n}(x)\}$ konvergira u svakoj tački $x\in D$$x\in D$, onda kažemo da niz konvergira na $D$$D$.

Ovaj vid konvergencije niza $\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$ često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

Ravnomjerna (uniformna) konvergencija

Neka su na nekom skupu $D$$D$ definisane funkcije $f_{n}(x)(n=1,2,3,...)$$f_{n}(x)(n=1,2,3,...)$.

Kažemo da niz $\{f_{n}(x)\}$$\{f_{n}(x)\}$ ravnomjerno (uniformno) na $D$$D$ konvergira ka funkciji $f(x)$$f(x)$ ako za svako $\epsilon >0$$\epsilon >0$ postoji prirodan broj $n_{0}=n_{0}(\epsilon )$$n_{0}=n_{0}(\epsilon )$ koji zavisi samo od $\epsilon$$\epsilon$ i takav je da za svako $x\in D$$x\in D$ vrijedi

$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$$|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ čim je $n\geq n_{0}$$n\geq n_{0}$

Konvergencija gotovo svuda

Ako niz $\{f_{n}(x)\}$$\{f_{n}(x)\}$ konvergira za gotovo svako $x\in D$$x\in D$, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na $D$$D$.

Konvergencija u mjeri

Za niz $\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$ $\mu$$\mu$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X,M,\mu )$$(X,M,\mu )$ kažemo da konvergira u mjeri $\mu$$\mu$ ka funkciji $f(x)$$f(x)$, ako za svako $\epsilon >0$$\epsilon >0$ vrijedi

$\mu \{x\in X:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon \}\longrightarrow 0$$\mu \{x\in X:|f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon \}\longrightarrow 0$ kada $n\longrightarrow \infty$$n\longrightarrow \infty$

Konvergencija u normi

Za niz $\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$$\{f_{n}(x)\}_{n\in \mathbf {N} }$ $\mu$$\mu$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X,M,\mu )$$(X,M,\mu )$ kažemo da konvergira u normi $L^{p}$$L^{p}$ $(p\geq 1)$$(p\geq 1)$ ako vrijedi:

$(L)\int _{X}|f_{n}(x)-f(x)|^{p}d\mu \longrightarrow 0$$(L)\int _{X}|f_{n}(x)-f(x)|^{p}d\mu \longrightarrow 0$ kada $n\longrightarrow \infty$$n\longrightarrow \infty$

Također pogledajte

• Skup (matematika)