Niz

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Preferences-system.svg Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija.
Pogledajte kako poboljšati članak, kliknite na link uredi i doradite članak vodeći računa o standardima Wikipedije.

Funkciju kojoj je domen skup prirodnih brojeva , a kodomena ma koji dati skup nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa , odnosno sa .

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake odnosno .

Element (tj. ) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element prvi član niza.

Ako je domen funkcije konačan podskup skupa , onda za niz kažemo da je konačan, i označavamo ga sa .

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.


Primjer
  • Funkcija data sa za određuje niz


  • Niz zadan formulom za , tj. glasi

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang konačan skup .

Važniji nizovi brojeva[uredi | uredi izvor]

Fibonaccijev niz[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Fibonaccijev broj

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a(n + 2) =an + a(n +1)

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

Aritmetički niz[uredi | uredi izvor]

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a(n +1) - an = a(n +2) -a(n +1)


Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

Geometrijski niz[uredi | uredi izvor]

Geometijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a(n +1)]2 =ana(n +2)

Tačka gomilanja niza[uredi | uredi izvor]

Neka je neki pozitivan broj i . Pod - okolinom tačke , u oznaci ili podrazumijevamo skup

- okolina tačke je otvoreni interval dužine .

Broj nazivamo tačkom gomilanja niza ako svakoj - okolini tačke pripada beskonačno mnogo članova niza .

Dati niz može imati više tačaka gomilanja

Ograničeni nizovi[uredi | uredi izvor]

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz je ograničen. Za svako n je

Nizovi funkcija[uredi | uredi izvor]

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija označavamo kraće sa odnosno

Konvergencija nizova[uredi | uredi izvor]

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je dati niz i realan broj, onda za broj kažemo da je granična vrijednost niza ako za svaki postoji prirodan broj (koji može da ovisi od ) takav da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost:

U tom slučaju pišemo odnosno kada i čitamo: je granična vrijednost niza kada n teži u beskonačnost odnosno konvergira broju .

Ako je , onda niz nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj naziva se granična vrijednost niza ako se u svakoj njegovoj - okolini nalaze gotovo svi članovi niza , sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

  • Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
  • Konvergentan niz je ograničen

Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .

Za niz kažemo da divergira u ako za svaki realan broj postoji prirodan broj takav da za sve vrijedi: , i u tom slučaju pišemo odnosno da .


Konvergencija funkcionalnih nizova[uredi | uredi izvor]

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

Konvergencija po tačkama[uredi | uredi izvor]

Neka je neki niz funkcija definisanih na nekom skupu . Ako odaberemo neko proizvoljno , onda stavljajući dobijamo brojni niz .

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz konvergira u tački .

Ako niz konvergira u svakoj tački , onda kažemo da niz konvergira na .

Ovaj vid konvergencije niza često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

Ravnomjerna (uniformna) konvergencija[uredi | uredi izvor]

Neka su na nekom skupu definisane funkcije .

Kažemo da niz ravnomjerno (uniformno) na konvergira ka funkciji ako za svako postoji prirodan broj koji zavisi samo od i takav je da za svako vrijedi

čim je

Konvergencija gotovo svuda[uredi | uredi izvor]

Ako niz konvergira za gotovo svako , osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na .

Konvergencija u mjeri[uredi | uredi izvor]

Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u mjeri ka funkciji , ako za svako vrijedi

kada

Konvergencija u normi[uredi | uredi izvor]

Za niz - izmjerivih funkcija na prostoru mjere kažemo da konvergira u normi ako vrijedi:

kada

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]