Niz

Za druga značenja pojma Niz pogledajte Niz (čvor).

Funkciju $f:\mathbf{N}\longrightarrow R$ kojoj je domen skup prirodnih brojeva $\mathbf{N}$, a kodomena ma koji dati skup $R$ nazivamo brojni niz (slog) i označavamo sa $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$, odnosno sa $a(1),a(2),\ldots,a(n),\ldots$.

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake $\{a_n\}_{n\in\mathbf{N}}$ odnosno $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$.

Element $a(n)$ (tj. $a_n$) nazivamo n-ti ili opći član niza, a element $a_1$ prvi član niza.

Ako je domen funkcije $f$ konačan podskup skupa $\mathbf{N}$, onda za niz $\{a_n\}=a_1,a_2,\ldots,a_n$ kažemo da je konačan, i označavamo ga sa $\{a_k\}_{k=1}^{n}$.

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

Primjer

• Funkcija $a:\mathbf{N}\longrightarrow R$ data sa $a_n=a(n)=3^n$ za $\forall(n\in\mathbf{N})$ određuje niz

$3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots$

• Niz $\{a_n\}$ zadan formulom $a_n=\frac{1}{2}[5+(-1)^n]$ za $\forall(n\in\mathbf{N})$, tj. $a_n = \left\{\begin{array}{cc} 3 &\mbox{ako je n paran} \\ 2&\mbox{ako je n neparan} \end{array}\right.$ glasi $2,3,2,3,2,3,\ldots$

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang $R$ konačan skup $\{2,3\}$.

Važniji nizovi brojeva

Fibonaccijev niz

Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a_{(n + 2)} =a_n + a_{(n +1)}

Primjer

2, 3,5, 8,... 1, 1, 2, 3, ....

Aritmetički niz

Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a_{(n +1)} - a_n = a_{(n +2)} -a_{(n +1)}

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

Geometrijski niz

Geometijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a_{(n +1)}]² =a_na_{(n +2)}

Tačka gomilanja niza

Neka je $\epsilon$ neki pozitivan broj i $x_0\in R$. Pod $\epsilon$ - okolinom tačke $x_0$, u oznaci $O_{\epsilon}(x_0)$ ili $O(x_0)$ podrazumijevamo skup

$O_{\epsilon}(x_0)=\{x\in R:|x-x_0|<\epsilon\}$

$\epsilon$- okolina tačke $x_0$ je otvoreni interval $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$ dužine $2\epsilon$.

Broj $\alpha\in R$ nazivamo tačkom gomilanja niza $\{a_n\}$ ako svakoj $\epsilon$- okolini tačke $\alpha$ pripada beskonačno mnogo članova niza $\{a_n\}$.

Dati niz $\{a_n\}$ može imati više tačaka gomilanja

Ograničeni nizovi

Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz $\{a_n\}$ kažemo da je ograničen odozgo ako postoji konstanta r takva da je $a_n\leq r$ za sve n. On je ograničen odozdo ako postoji konstanta s takva da je $a_n\geq s$ za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante r i s takve da je $s\leq a_n\leq r$ za sve n, naziva se ograničenim nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

Primjer

Niz $\{(-1)^{n-1}(2+\frac{3}{n})\}$ je ograničen. Za svako n je $-\frac{7}{2}\leq a_n\leq 5$

Nizovi funkcija

Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots$ označavamo kraće sa $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ odnosno $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$

Konvergencija nizova

Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je $\{a_n\}$ dati niz i $\alpha$ realan broj, onda za broj $\alpha$ kažemo da je granična vrijednost niza $\{a_n\}$ ako za svaki $\epsilon > 0$ postoji prirodan broj $n_0=n_0(\epsilon)$ (koji može da ovisi od $\epsilon$) takav da za sve prirodne brojeve $n>n_0$ vrijedi nejednakost:

$|a_n-\alpha|<\epsilon$

U tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=\alpha$ odnosno $a_n\longrightarrow\alpha$ kada $n\longrightarrow\infty$ i čitamo: $\alpha$ je granična vrijednost niza $\{a_n\}$ kada n teži u beskonačnost odnosno $a_n$ konvergira broju $\alpha$.

Ako je $\alpha = 0$, onda niz $\{a_n\}$ nazivamo nula niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je konvergentan niz. Niz koji nije konvergentan nazivamo divergentan niz.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj $\alpha$ naziva se granična vrijednost niza $\{a_n\}$ ako se u svakoj njegovoj $\epsilon$- okolini nalaze gotovo svi članovi niza $\{a_n\}$, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

Primjer

Niz $\{\frac{2n+1}{n}\}$ konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

• Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
• Konvergentan niz je ograničen

Za niz $\{a_n\}$ kažemo da divergira u $+\infty$ ako za svaki realan broj $A > 0$ postoji prirodan broj $n_0(A)$ takav da za sve $n>n_0(A)$ vrijedi: $a_n > A$, i u tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = +\infty$ odnosno da $a_n\longrightarrow +\infty$.

Za niz $\{a_n\}$ kažemo da divergira u $-\infty$ ako za svaki realan broj $B < 0$ postoji prirodan broj $n_0(B)$ takav da za sve $n>n_0(B)$ vrijedi: $a_n < B$, i u tom slučaju pišemo $\lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = -\infty$ odnosno da $a_n\longrightarrow -\infty$.

Konvergencija funkcionalnih nizova

U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

Konvergencija po tačkama

Neka je $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ neki niz funkcija definisanih na nekom skupu $D$. Ako odaberemo neko proizvoljno $x_0\in D$, onda stavljajući $x=x_0$ dobijamo brojni niz $\{f_n(x_0)\}$.

Ako ovaj niz (kao brojni niz) konvergira, onda kažemo da niz $\{f_n(x)\}$ konvergira u tački $x_0$.

Ako niz $\{f_n(x)\}$ konvergira u svakoj tački $x\in D$, onda kažemo da niz konvergira na $D$.

Ovaj vid konvergencije niza $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ često nazivamo konvergencija po tačkama, konvergencija tačka-po-tačka ili obična konvergencija.

Ravnomjerna (uniformna) konvergencija

Neka su na nekom skupu $D$ definisane funkcije $f_n(x)$ (n=1,2,3,...).

Kažemo da niz $\{f_n(x)\}$ ravnomjerno (uniformno) na $D$ konvergira ka funkciji $f(x)$ ako za svako $\epsilon > 0$ postoji prirodan broj $n_0=n_0(\epsilon)$ koji zavisi samo od $\epsilon$ i takav je da za svako $x\in D$ vrijedi

$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ čim je $n\geq n_0$

Konvergencija gotovo svuda

Ako niz $\{f_n(x)\}$ konvergira za gotovo svako $x\in D$, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira gotovo svuda na $D$.

Konvergencija u mjeri

Za niz $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ $\mu$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X,M,\mu)$ kažemo da konvergira u mjeri $\mu$ ka funkciji $f(x)$, ako za svako $\epsilon > 0$ vrijedi

$\mu\{x\in X : |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\longrightarrow 0$ kada $n \longrightarrow \infty$

Konvergencija u normi

Za niz $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}$ $\mu$- izmjerivih funkcija na prostoru mjere $(X,M,\mu)$ kažemo da konvergira u normi $L^p$ $(p\geq 1)$ ako vrijedi:

$(L)\int_{X}|f_n(x)-f(x)|^p d\mu \longrightarrow 0$ kada $n\longrightarrow\infty$