Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi
U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi (niz A000045 u OEIS)
, također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...
Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]
Ako znamo Fibonaccijeve brojeve
i
onda možemo naći broj
po formuli
Također imamo
Uopšteno
Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti
kao funkcije od

gdje je
zlatni presjek. U tom slučaju
и
su rješenja jednačine
.
Iz Binetove formule za sve
, slijedi da je
za
najbliže cijelom broju tj.
Za
je
.
Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način

pri tome
vrijedi za svaki kompleksni broj
U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj
koji je korjen jednačine
i
Iz Binetove formule
Gdje je


Dalje imamo
i
Za sve vrijednosti a , b definišimo niz
Zadovoljena je i relaciija
Neka su
i
izabrani tako da je
i
onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.
Brojevi
i
zafovoljavaju relaciju
Odnosno imamo
Uzimajući
i
kao početne varijable imamo
Odnosno

.
Posmatrajmo sada

Za
, broj
najbliži cio broj je
, koji se može dobiti iz funkcije
![{\displaystyle F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f284c42fe2e2d38c49ba4d1a8a3f16eb5afed8ed)
ili

Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

gdje se
može izračunati korištenjem logaritma druge baze
Primjer
Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa
Posljedice
je djeljiv sa
ako i samo ako je
djeljivo sa
( bez
)
je djeljivo sa
samo ako je 
je djeljivo sa
samo ako je 
je djeljivo sa
samo ako je 
je prost ako je
prost broj sa isključenjem

Obratno ne važi tj ako je
prost broj
ne mora biti prost

Njegov polinom
ima korjene
i
1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12
,
,
,
Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je
Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva
za
[3]
F0
|
F1
|
F2
|
F3
|
F4
|
F5
|
F6
|
F7
|
F8
|
F9
|
F10
|
F11
|
F12
|
F13
|
F14
|
F15
|
F16
|
F17
|
F18
|
F19
|
F20
|
0
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
89
|
144
|
233
|
377
|
610
|
987
|
1597
|
2584
|
4181
|
6765
|
Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.


Niz brojeva
za
[4]
F−8
|
F−7
|
F−6
|
F−5
|
F−4
|
F−3
|
F−2
|
F−1
|
F0
|
F1
|
F2
|
F3
|
F4
|
F5
|
F6
|
F7
|
F8
|
−21
|
13
|
−8
|
5
|
−3
|
2
|
−1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|




(см. рис.)




Opšte formule



, kao i
,
gdje matrice imaju oblik
, i je imaginarna jedinica.
- Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma


Za bilo koji
Posljedica
Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:
- U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
- Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
- Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
- Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.
Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.