Fibonaccijev broj

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi (niz A000045 u OEIS) , također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811…

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Ako znamo Fibonaccijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli

Također imamo

Uopšteno

Binetova formula[uredi | uredi izvor]

Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti kao funkcije od

gdje je zlatni presjek. U tom slučaju и su rješenja jednačine .

Iz Binetove formule za sve , slijedi da je za najbliže cijelom broju tj.

Za je .

Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način

pri tome vrijedi za svaki kompleksni broj

Odnos prema zlatnom odnosu[uredi | uredi izvor]

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj koji je korjen jednačine i

Iz Binetove formule

Gdje je

Dalje imamo

i

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

Zadovoljena je i relaciija

Neka su i izabrani tako da je i onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi i zafovoljavaju relaciju

Odnosno imamo

Uzimajući i kao početne varijable imamo

Odnosno

.

Posmatrajmo sada

Za , broj najbliži cio broj je , koji se može dobiti iz funkcije

ili

Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

gdje se može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

Osobine[uredi | uredi izvor]

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

je djeljiv sa ako i samo ako je djeljivo sa ( bez )

  • je djeljivo sa samo ako je
  • je djeljivo sa samo ako je
  • je djeljivo sa samo ako je

je prost ako je prost broj sa isključenjem

Obratno ne važi tj ako je prost broj ne mora biti prost

Njegov polinom ima korjene i

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12 , , ,

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je

Fibonnaccijev niz brojeva[uredi | uredi izvor]

Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva za [3]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

Niz brojeva za [4]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Identiteti[uredi | uredi izvor]

  • (см. рис.)

Opšte formule

, kao i ,

gdje matrice imaju oblik , i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma

Za bilo koji

Posljedica

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

Fibonnacijev niz u prirodi[uredi | uredi izvor]

Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. ^ The Fibonacci series: 03. april 2011.
  4. ^ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.