Množenje

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Množenje je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici. Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje.


\begin{matrix}
  \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a}\\[-4ex]
\end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = a \cdot b

a i b se nazivaju faktori. Rezultat, „a puta b“, se naziva proizvod.

Množenje viže uzastopnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :

3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_{i=1}^5 (2i+1) = 10\ 395

ili

\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \; \dots \; \cdot \frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n \frac{i+2}{i} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!
Primjeri

\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 =24

     \prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720

Odnosno imamo da je

\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n


Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64

Notacija[uredi | uredi izvor]

malo

Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.

Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5x, xy).


Suprotna operacija je dijeljenje.

Osobine množenja[uredi | uredi izvor]

U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.

\forall a \  \exists_1 b: a \cdot b = 1

Inverzan broj broja a je \tfrac{1}{a}. Inverzan broj inverznog broja a je broj a

\frac{1}{\frac{1}{a}} = a

Množenje kroz skupove[uredi | uredi izvor]

Cijeli brojevi[uredi | uredi izvor]

Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.

(-1)*a=a*(-1)=-a

 (-1)(-1)=1

Racionalni brojevi[uredi | uredi izvor]

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora

a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}

Iracionalni brojevi[uredi | uredi izvor]

Neka je  b \in R \smallsetminus Q iracionalan broj, tada je proizvod ab granična vrednost

a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}

gdje je \tfrac{p}{q} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b. kompleksan broj

Kompleksan brojevi[uredi | uredi izvor]

Kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:

Zbog i^2=-1 je

(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right))

Množenje vektora[uredi | uredi izvor]

  • k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)

(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)

  • \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)

  • \times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z 
\end{vmatrix}
gdje su \mathbf{i}, \mathbf{j} i \mathbf{k}jedinični vektori duž x, y i z ose

(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za \mathbb{R}^3, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)

  • []: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3

[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}
(Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] )

Množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Neka su date matrice А i B veličine mА×nА i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je nА = mB, a dobijena matrica ima dimenzije mА×nB. Elementi matrice-proizvoda su

(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j}

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator

[A, B] = A \times B - B \times A


Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

Multiplication