Faktorijel

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
11 39.916.800
12 479.001.600
13 6.227.020.800
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
47.176 8,4485731495... × 10200.001
100.000 2,8242294079... × 10456.573
1.000.000 8,2639316883... × 105.565.708
9,99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307

Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.[1] Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

 n!=\prod_{k=1}^n k \qquad \forall n \in \mathbb{N}.\!

ili rekurzivno kao

 n! = \begin{cases}
1 & \text{if } n = 0, \\
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0.
\end{cases}

U obje definicije, uključuje se slučaj

0! = 1 \

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

  • rekurzivna relacija (n + 1)! = n! \times (n + 1) važi za n = 0;
  • dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr. e^x = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!};
  • ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
    • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

Primjena[uredi | uredi izvor]

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

{n\choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

Primjer[uredi | uredi izvor]

  • 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

odnosno

  • n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot(n-1) \cdot n

po definiciji je:

  • 0! = 1 \

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

Približno računanje faktorijela[uredi | uredi izvor]

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

gdje je:

\pi broj pi (približno 3,14)
\ e broj e (približno 2,71)

Dvostruki faktorijel n!![uredi | uredi izvor]

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva


  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{za }n=0\mbox{ ili }n=1;
   \\
    n(n-2)!!&&\mbox{za }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.

na primjer:

  • 10!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 = 3840

odnosno

  • 9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Faktorijelski kalkulatori i algoritmi