Gama funkcija
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
- Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.
U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa
Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.
Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je
što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od n.
Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.
Definicija
[uredi | uredi izvor]Glavna definicija
[uredi | uredi izvor]Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj
konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je
Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:
Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:
za sve prirodne brojeve n.
Partikularne vrijednosti
[uredi | uredi izvor]Također pogledajte
[uredi | uredi izvor]- Beta funkcija
- Bohr-Mollerupov teorem
- Digama funkcija
- Eliptična gama funkcija
- Faktorijel
- Gama distribucija
- Gaussova konstanta
- Gaussova suma
- Nepotpuna gama funkcija
- Lanczosova aproksimacija
- Multivarijantna gama funkcija
- Pochhammerov k-simbol
- Poligama funkcija
- Recipročna gama funkcija
- Stirlingova aproksimacija
- Trigama funkcija
Zabilješke
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
- Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
- Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
- Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
- Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
Vanjski linkovi
[uredi | uredi izvor]Internet stranice
[uredi | uredi izvor]- Cephes - C and C++ language special functions math library
- Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
- Gamma function calculator
- Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
- Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
- Computing the Gamma function - various algorithms
- Online tool to graph functions which contain the Gamma function
Dalje čitanje
[uredi | uredi izvor]- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
- G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
- Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
- W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)