Derivacija

Pravac L tangira funkciju f u tački P čija derivacija odgovara nagibu pravca L u tački P

U matematici, derivacija ili izvod funkcije skupa sa integralnim računom glavne su osnove infinitezimalnog računa koji ima široku primjenu u svim naučnim i mnogim drugim područjima gdje je potreban proračun razvoja funkcije u odredjenom intervalu npr. u matematici derivacija je nagib pravca u odredjenom intervalu, u ekonomiji npr. rast inflacije u odredjenom vremenu, u fizici derivacijom vremena dobijemo trenutnu brzinu.

Geometrijsko značenje

U geometrijskom smislu derivacija funkcije $f$$f$ je omjer nagiba pravca u odredjenoj tački $x_{0}$$x_{0}$ odnosno koeficijent smjera pravca odnosno tangenta na funkciju $f$$f$ u tački čije su koordinate $(x_{0},f(x_{0})).$$(x_{0},f(x_{0})).$

Koeficijent smjera pravca = m

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

odnosno

$Df=m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$$Df=m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x_{0}+h)-x_{0}}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

jer $(x_{0}+h)-x_{0}=h$$(x_{0}+h)-x_{0}=h$

$\Delta x=h$$\Delta x=h$

Konačna formula:

$Df=\lim _{h\rightarrow 0}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x)}{h}}$$Df=\lim _{h\rightarrow 0}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x)}{h}}$

Koeficijent smjera pravca usko je povezan sa derivacijom iz razloga što kada interval $x_{2}-x_{1}=h$$x_{2}-x_{1}=h$ počne težiti nuli, odnosno graničnoj vrijednosti (limesu) $h\rightarrow 0$$h\rightarrow 0$ toliko se približi nuli da postane infinitezimalno minimalan, dobijamo derivaciju $f$$f$ u tački $(x_{0},f(x))$$(x_{0},f(x))$.

Također pogledajte

• Kalkulus
• Simetrična derivacija
• Automatska diferencijacija
• Glatka funkcija
• Diferintegral
• Integral
• Linearizacija
• Numerička diferencijacija
• Spisak identiteta diferencijacije
• Tablica izvoda