Pravilo derivacije proizvoda

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (također se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Zakon glasi:

ili direktno po Leibnizu:

Otkriće od strane Leibniza[uredi | uredi izvor]

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći:

Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

Pošto je (du) i (dv) zanemarljivo, Leibniz je zaključio da je

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

koje se može napisati i kao

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Rigorozni dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

i da su i f i g diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

Sada razlika

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Regladelproducte.png

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

Zbog toga, izraz (1) jednak je

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

Sada

jer f(x) ostaje konstanta kao wx;

jer je g diferencijabilna u x;

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]