Pravilo derivacije složene funkcije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

Definicija[uredi | uredi izvor]

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

koje se kraće piše u formi .

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcije[uredi | uredi izvor]

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo[1] da je

Sada je

gdje je

Uočite da kada δ → 0, αδ/δg′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Primjer I[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo . Imamo gdje je i Zbog toga,

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

možemo pisati sa i . Tada dobijamo

pošto je i .

Primjer II[uredi | uredi izvor]

Difercencirajmo , itd.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]