S Wikipedije, slobodne enciklopedije
U kalkulusu , pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije .
U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u , koja, na kraju, zavisi od treće varijable x , tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x . Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I ).
Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x),\,}
koje se kraće piše u formi
(
f
∘
g
)
′
=
f
′
∘
g
⋅
g
′
{\displaystyle (f\circ g)'=f'\circ g\cdot g'}
Alternativno, u Leibnizovoj notaciji , pravilo derivacije složene funkcije je
d
f
d
x
=
d
f
d
g
⋅
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}.}
U integraciji , nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije .
Dokaz pravila derivacije složene funkcije [ uredi | uredi izvor ] Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x . Tada je definicija diferencijabilnosti,
g
(
x
+
δ
)
−
g
(
x
)
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
{\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta \,}
gdje ε (δ ) → 0 kada δ → 0. Slično,
f
(
g
(
x
)
+
α
)
−
f
(
g
(
x
)
)
=
α
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
)
α
{\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\alpha \,}
gdje η (α ) → 0 kada α → 0. Također definišimo[1]
η
(
0
)
=
0
{\displaystyle \eta (0)=0\,}
Sada je
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}
=
f
(
g
(
x
)
+
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
)
−
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta )-f(g(x))\,}
=
α
δ
f
′
(
g
(
x
)
)
+
η
(
α
δ
)
α
δ
{\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\alpha _{\delta }\,}
gdje je
α
δ
=
δ
g
′
(
x
)
+
ϵ
(
δ
)
δ
.
{\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\delta .\,}
Uočite da kada δ → 0, αδ /δ → g ′(x ) i αδ → 0, te zbog toga η (αδ ) → 0. Slijedi da je
f
(
g
(
x
+
δ
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
δ
→
g
′
(
x
)
f
′
(
g
(
x
)
)
as
δ
→
0.
{\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x)){\mbox{ as }}\delta \to 0.}
Razmotrimo
f
(
x
)
=
(
x
2
+
1
)
3
{\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
g
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle g(x)=x^{2}+1}
h
(
x
)
=
x
3
.
{\displaystyle h(x)=x^{3}.}
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)\,}
=
3
(
x
2
+
1
)
2
(
2
x
)
{\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}
=
6
x
(
x
2
+
1
)
2
.
{\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}
Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju
f
(
x
)
=
sin
(
x
2
)
,
{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}
možemo pisati
f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=h(g(x))}
h
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle h(x)=\sin x}
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle g(x)=x^{2}}
f
′
(
x
)
=
2
x
cos
(
x
2
)
{\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}
pošto je
h
′
(
g
(
x
)
)
=
cos
(
x
2
)
{\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}
g
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle g'(x)=2x}
Difercencirajmo
arctan
sin
x
{\displaystyle \arctan \,\sin \,x}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,x\,=\,{\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arctan
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
1
+
f
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,f(x)\,=\,{\frac {f'(x)}{1+f^{2}(x)}}}
d
d
x
arctan
sin
x
=
cos
x
1
+
sin
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan \,\sin \,x\,=\,{\frac {\cos \,x}{1+\sin ^{2}\,x}}}
^ Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.
