D'Alambertov test

U matematici, D'Alambertov test je test (ili "kriterij") konvergencije redova

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

čiji su članovi realni ili kompleksni brojevi. Test je prvi objavio Jean le Rond d'Alembert. Test koristi broj

$L=\limsup _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

gdje "lim sup" označava limes superior kada n teži u beskonačnost. Evo je ekvivalentno

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

u slačuaju gdje limes postoji.

D'Alambertov test kaže:

• ako je L < 1 tada red konvergira apsolutno, te
• ako je L > 1 tada red divergira.

Ako je L = 1, tada je test neodlučan (postoje i konvergentni i divergentni redovi koji zadovoljavaju taj slučaj).

Primjeri

Konvergira

Neka je dat red:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}$

Red konvergira jer je ${\frac {1}{e}}$ manje od 1.

Divergira

Neka je dat red:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.$

Ako primjenimo D'Alambertov test:

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|\\&=e>1.\end{aligned}}$

Red divergira jer je ${\frac {1}{e}}$ veće od 1.

Neodlučno

ako je limes općeg člana reda

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

nemoguće je pomoću D'Alambertovog testa odrediti da li red konvergira ili divergira.

Na primjer, red

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

divergira, ali

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.$

Međutim, red

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

konvergira apsolutno, ali je

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.$

Konačno,

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$

konvergira uslovno, ali

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.$

L=1 i Raabeov test

Kao što je pokazano na prethodnom primjeru, D'Alambertov test je neodlučan kada je

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$.

Proširenje D'Alambertovog testa, prema švicaracskom matematičaru Josephu Raabeu, omogućava rješavanje ovakvih slučajeva. Raabeov test kaže da ako je

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

i ako je

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)<-1$

tada red konvergira apsolutno. D'Alembertov test i Raabeov test su prvi i drugi teoremi u hijerarhiji od sličnih teorema prema Augustusu De Morganu.

Također pogledajte

• Cauchyjev korjeni test
• Radijus konvergencije

Reference

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, Inc., New York, 1976. (§ 3.34) ISBN 0-07-054235-X
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3