Test općeg člana

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, test divergencije n-tog člana[1] je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:

  • Ako ili ako limes ne postoji, tada red divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.[2]

Upotreba[uredi | uredi izvor]

Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:

  • Ako je tada red može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je , test je neodlučan.

Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.[3] Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red

pojašnjava razultate testa:

  • Ako je p ≤ 0, tada red divergira.
  • Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije.
  • ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:

  • Ako red konvergira, tada je

Manipulacija limesima[uredi | uredi izvor]

Ako su sn parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je

za neki broj s. Tada vrijedi[4]

Cauchyjev kriterij[uredi | uredi izvor]

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki postoji broj N takav da

vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskaza[5]

Domet[uredi | uredi izvor]

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ Na primjer, Rudin (str. 60) iskazuje samo kontrapozitivnu formu i ne imenuje ga. Brabenec (str. 156) naziva ga samo test n-tog člana. Stewart (str. 709) naziva ga test divergencije.
  3. ^ Rudin p.60
  4. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. ^ Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.
  • Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0-88385-737-5. 
  • Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 981-256-563-9. 
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2050-8. 
  • Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e iz.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. 
  • Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e iz.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2. 
  • Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1-4020-1616-6.